Herleitung der Summenformel für geometrische Reihen

[Simonek]

Weiß jemand, wie ich die Summenformel für geometrische Reihen herleiten kann.

Also praktisch wie man von

s_n = a₁ + a₁ * q + a₁ * q² + ... + a₁ * q^n-1

zu

s_n = a₁ * [ (qⁿ - 1) / (q - 1) ]

kommt.

[ness]

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen

[Simonek]

Da habe ich auch schon geschaut.

Was ich nicht verstehe ich, dass die Formel die ich oben hingeschrieben habe in meinem Mathebuch steht:

S_n = a₁ * [ (qⁿ - 1) / (q - 1) ]

Bei Wiki steht allerdings:

S_n = a₁ * [ (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q) ]

wenn ich das allerdings gleichsetze bekomme ich qⁿ = qⁿ⁺¹ raus was ja nicht stimmen kann oder habe ich mich irgendwo verrechnet?

[Gast]

Ist der Anfang der gleiche?
Also wird bei 0 oder bei 1 angefangen?

[Taurin]

In der Wiki ist der letzte Summand a1 * q^n

[Simonek]

Aber welche Formel stimmt jetzt?

Kommt das nur darauf an, ob ich jetzt bei a0 oder a1 anfange zu zählen?

[Daniel E.]

Guck, Du rechnest:
A_n = a + a q + a q^2 + ... + a q^(n-1)

Wikipedia rechnet:
B_n = a + a q + a q^2 + ... + a q^(n-1) + a q^n

Also einen Summanden mehr. Das wäre in deiner Notation A_(n+1) (also: A_(n+1) = B_n) und dann sind die beiden Formeln doch identisch.

[MrBesserwisser]

1.)Ausgangsgleichung:
$s\_n = a\_1 + a\_1 q + a\_1 q^2 + ... + a\_1 q^{n-1}=a\_1(1 + q + \ldots + q^{n-1})$
2.)Ausgangsgleichung mit q durchmultipliziert:
$qs\_n = a\_1 (q + q^2 +\ldots +q^n)$
3.)Differenz der beiden obigen Gleichungen bilden:
$(1-q)s\_n = s\_n - q*s\_n = a\_1 (1 + q + \ldots + q^{n-1} -(q + q^2 +\ldots +q^n))$
$= a_1 (1-q^n)$
4.)durch (1-q) dividieren:
$s\_n = a\_1\frac{1-q^n}{1-q}=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$