erster beweisversuch
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Oder eben die Umkehrfunktion hinschreiben und nachprüfen, ob in beiden Richtungen die Identität rauskommt. Dann folgt auch Bijektivität. Insolchen Fällen ist das oft einfacher.
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Ist halt die Frage, wie man die dritte Wurzel aus x definiert. Wenn man es als Umkehrfunktion von x^3 definiert, hat man einen Zirkelschluss, denn dies darf man erst wenn man Bijektivität nachgewiesen hat...
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Reicht doch zu zeigen, dass aus x³=f(x)=f(y)=y³ => x=y folgt, und das scheint mir offensichtlich genug.
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Gerade beim ersten Beweis sollte man sich aber auf die mathematische Strenge konzentrieren. Worte wie "offensichtlich", "klar", "analog", "OBdA" etc. haben da nichts zu suchen.
Zudem zeigt das nur Injektivität.
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hi danke für die vielen antworten. stimmt, dass viele von mir verwendete methoden ncoh nicht behandelt wurden, kenn ich noch so ungefähr aus der schule, aber is natürlich schon bisschen doof so.
edit: der gedanke war nciht ausgereift
hm, also mittlerweile bin ich mir auch nicht ganz sicher, ob die aufgabe fordert, dass man das beweisen soll. dort steht nur, dass man prüfen soll, welche der folgenden abbildungen injektiv und welche surjektiv sind. eine der "folgenden" ist eben f(x)=x^3. ich habe angenommen, dass man das beweisen soll, allerdings find ich nix in dem kapitel, was mir helfen könnte, es nciht mal die axiome von IR gegeben (kenne ich nur so halb aus einem anderen buch). falls es jemanden interessiert: das bcuh ist der beutelspacher. wenn den jemand grade zur hand hat, könnte der ja vielleicht gucken, ob man das mit dem wissen überhaupt schon beweisen kann (1. kapitel). ansonsten, wären vielleicht ein, zwei stichworte gut, die zum beweis führen
danke für eure unterstützung
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Wenn du weder die Mittel hast, das zu beweisen, noch die Aufgabe nach einem Beweis verlangt, sieht das für mich zumindest nach einem ganz klaren Fall aus. Du kannst dir natürlich jetzt erstmal die halbe Analysis erarbeiten und dann deinen Beweis fortführen, aber das erscheint mir nicht gerade sinnvoll, wo du doch eigentlich gerade nur verstehen sollst, was injektiv und surjektiv bedeuten.
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ok, dachte, das müsste ich trotzdem schon irgendwie können, dann tut mir das leid, wenn hier sich alle umsonst mühe gemacht haben, allerdings wars ja nicht wirklich umsonst, wenn ich das mal beweisen können muss, dann wird mir das sicher helfen
nochmals danke
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Der Beutelspacher will keinen Beweis. Du sollst einfach nur die Eigenschaften untersuchen.
btw. Ein blick in die Lösungstipps hätte dir das aber längst verraten :p
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hmm, also in meinem beutelspacher stehen keine lösungstips (ist von '94 aus ner bib). nur die lösungen zu den multiple-choice-fragen, aber keine tips zu den übungsaufgeben. und bei denen sind teilweise explizit beweise gefragt, dachte halt, dass ich das bei dieser aufgabe auch machen sollte...
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Ich denke, das ist eher so gedacht, dass Du Dir mit bereits bekanntem Wissen (Analysis aus der Schule) mal ein paar Beispiele für injektive, surjektive und bijektive Funktionen anschaust. Einfach um ein Gefühl dafür zu kriegen, was das bedeutet.
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ja, denke ich (mittlerweile ;)) auch, dann kann ich ja mal eben fragen, ob ich das richtig sehe:
f(x)=x^3 bijektiv
f(x)=ax^2+bx+c mit x!=0 gar nix
f(x)=|x| auch nix
f(x)=e^x injektiv
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Es wäre noch wichtig zu wissen, wie die Funktionen aussehen (eine Funktion besteht aus Definitionsbereich, Wertebereich UND Funktionsbeschreibung, nicht nur aus der Funktionsbeschreibung).
Beispiel:
x |-> |x| ist zB schon surjektiv, wenn auf {x aus R mit x >= 0} abgebildet wird, aber nicht, wenn in den gesamten R abgebildet wird. Das ist ein Unterschied.
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Mr. Pink schrieb:
hmm, also in meinem beutelspacher stehen keine lösungstips (ist von '94 aus ner bib). nur die lösungen zu den multiple-choice-fragen, aber keine tips zu den übungsaufgeben. und bei denen sind teilweise explizit beweise gefragt, dachte halt, dass ich das bei dieser aufgabe auch machen sollte...
Ok, ich hab die 6. Auflage und die Lösungen kamen erst später (auf vielfachen Wunsch hin).
Bei den Aufgaben soll man nix beweisen, sie haben auch keinen eingeschränkten Definitionsbereich oder sonst irgendwelche extras. Es sind ein paar ganz einfache Funktionen die man zur Übung untersuchen soll.
Der Definitionsbereich ist natürlich angegeben in der Aufgabenstellung ("eine Abbildung f von IR in sich...").
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ja stimmt, habe ich vergessen anzugeben, sorry.
alle abbildungen bilden von IR nach IR ab.
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Wichtig ist, dass Dir klar ist, dass es nicht nur auf die Funktionsgleichung ankommt, sondern auch auf den Definitionsbereich! Selbe Funktionsgleichung, anderer Definitions/Bildbereich kann ganz andere Eigenschaften haben.