Stetig, beschränkt

Hallo!

ICh bin mir nicht ganz sicher ob wenn eine funktion stetig ist in ihrem gesamten definitionsbereich inkludiert ist,dass die fkt beschränkt ist. dh. ist eine stetige funktion automatisch stetig!?

lg

und wie sieht es mit stetig differenzierbaren funktionen aus (also wenn die erste ableitung wiederum stetig ist) hat diese eigenschaft eine aussage über die beschränkheit;

bzw. gibt es irgendeine eigenschaft einer funktion (stetig, diffbar, usw.) die automatisch inkludiert, dass die funktion beschränkt ist?

Jester

guest 2343 schrieb:

ICh bin mir nicht ganz sicher ob wenn eine funktion stetig ist in ihrem gesamten definitionsbereich inkludiert ist,dass die fkt beschränkt ist. dh. ist eine stetige funktion automatisch stetig!?

In der Mathematik wird nix inkludiert, meinst Du impliziert? Und ja, stetige Funktionen sind automatisch stetig. f(x) = x ist eine Funktion, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist. Sie ist aber nicht beschränkt, falls Du auf sowas hinaus wolltest. (Und falls Du mit Deiner Nachfrage da auch hinaus wolltest, sie ist sogar unendlich oft differenzierbar.)

Wenn der Definitionsbereich aber kompakt ist und die Funktion stetig, dann nimmt sie dort ihr Maximum an (und ist damit beschränkt).

ja hab natürlich gemeint

...dass die fkt beschränkt ist. dh. ist eine stetige funktion automatisch beschränkt!?

also ist auch eine n mal stetig differenzierbare funktion nicht unbedingt beschränkt?!
aber wenn ich eine beliebige funktion habe und den definitionsbereich einschränke ist sie es?! aber auch nicht notwendigerweise oder

1/x ist doch stetig auf (0, unendlich), hat aber keine kleinste größere schranke?!

Daniel E.

guest 2343 schrieb:

ja hab natürlich gemeint

...dass die fkt beschränkt ist. dh. ist eine stetige funktion automatisch beschränkt!?

Nein, siehe f(x)=x auf ganz R. Die ist stetig und unendlich oft differenzierbar, aber trotzdem nicht beschränkt.

aber wenn ich eine beliebige funktion habe und den definitionsbereich einschränke ist sie es?! aber auch nicht notwendigerweise oder

1/x ist doch stetig auf (0, unendlich), hat aber keine kleinste größere schranke?!

Das hat niemand so gesagt. (0,unendlich) ist kein kompaktes Intervall (kompakt = abgeschlossen und beschränkt). Auf dem kompakten Intervall I=[2; 25] ist 1/x natürlich schon beschränkt und nimmt die Extrema auf dem Rand an.

okay danke, habs kapiert