Systemtheorie z-Transformation

Hi,

will vom Bildbereich wieder in den Zeitbereich zurück leider bekomm ich das nicht richtig hin hoffe ihr könnt mir helfen.
folgende Funktion:
$Y(z)=\frac{2z^2}{(z-1)(z^2+0.5)}$
Partialbruch zerlegt:
$Y(z)=\frac{0,666z}{z^2+0.5}+\frac{0,6667}{z^2+0.5}+\frac{1.3333}{z-1}$
soll wieder in den Zeitbereich mittels der Korrespodenz Tabelle der z-Transformation. Aber ich bekomme die ersten beiden Brüche nicht so hin das ich die Tabelle benutzen kann.

MFG
unvex

mosta

Du musst den die ersten Terme mit 2 erweitern und dann ausklammern.

$Y(z)=\frac{0,666z}{z^2+\frac{1}{2}}*\frac{2}{2}$

$Y(z)=\frac{2*0,666z}{2z^2+\frac{2}{2}}$
dann die 2 und die 0,666 ausklammern(Ich ersetz die mal durch 2/3)

$Y(z)=\frac{4}{3}*\frac{z}{z^2+1}$

und den Term findest du in der Tabelle. Der zweite Term sollte dann auch nicht mehr so schwer sein

Dank dir aber ich sehe die zugehörige Korrespendz zu den Term leider noch nicht. Da das z^2 im Nenner mich stört.
Welche Korrespodenz würdest du da anwenden und wie?

mosta

naja, du kannst wieder mit zwei erweitern und dann die zwei ausklammern und kommst dann auf das hier

$Y(z)=\frac{4}{3}*\frac{1}{z^2+1}$

mosta

Du kommst dann auf diese Gleichung:

$Y(z)=\frac{4}{3}*\frac{z}{z^2+1}+\frac{4}{3}*\frac{1}{z^2+1}+\frac{4}{3}*\frac{1}{z-1}$

ziehst die 4/3 vor

$Y(z)=\frac{4}{3}* ( \frac{z}{z^2+1} + \frac{1}{z^2+1} + \frac{1}{z-1} )$

addierst term 1 und term 2 und erweiterst beide terme auf einen

$f(t)=\frac{4}{3}*( \frac{z+1}{z^2+1} + \frac{1}{z-1})$

also ich find da keine Einträge im Bronstein aber von da an kannst du ja versuchen von hand eine Rücktransformieren zu machen?

Daniel E.

z/(z^2+1) und 1/(z-1) stehen ja in der Wikipedia (ersterer mit w=pi/2, weil da der Sinus 1 und der Cosinus 0 wird). Bliebe also noch 1/(z^2+1) zu klären, die findet sich u.a. unter http://www.purat-online.de/tfh/lehre/dsv5c/Umdrucke/ztrans.pdf

Danke euch beiden ich komme der Sache schon näher
@mosta beim erweitern mit 2 hast du die eine 2 vor z^2 unterschlagen
$\frac{4}{3}*\frac{z}{2z^2+1}$
wenn ich die aber wieder rausziehe dann hab ich wieder z^2+0.5 im Nenner
das ist der einzige haken jetzt noch an der Sache, da ich die Formel die DanielE. vorgeschlagen hat dann nicht anwenden kann.
Sonst hätte ich schon die Lösung wenn ich das ignorieren könnte müsste das Ergebnis so aussehen:
\frac{4}{3}\*sin(\frac{\pi}{2}k)\*\sigma(k)+\frac{4}{3}\*sin(\frac{\pi}{2}(k-1))\*\sigma(k-1)+\frac{4}{3}*\sigma(k-1)

form halt z^2+1/2 um

z.B.

z^2 + 1/2 = (z+1/sqrt(2))^2 - sqrt(2)*z

und dann kommst du auf deinen sinus...