extrempunktberechnung von mehrerer reeler Variablen
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hiho,
hab eine frage:
wenn ich den radienten habe und dann in die hessematrix die werte einsetze, und da kommt z.b.
semidefinit raus, was kann ich dann damit anfangen ?
was definit ist und indefnit ist ja klar aber was bedeutet semidefinit ? sattelpunkt?
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Semidefinit bedeutet hier, dass du mit dieser Methode nicht sagen kannst ob ein Maximum/Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt.
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Wenn die Matrix semidefinit ist, dann musst du die Definitheit in einer Umgebung um den Punkt überprüfen. Bekommst du in einer Umgebung um den Punkt die gleiche semidefinitheit heraus, dann hast du ein lokales Extremum. (Minimum oder Maximum, je nach Vorzeichen)
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Jover schrieb:
Wenn die Matrix semidefinit ist, dann musst du die Definitheit in einer Umgebung um den Punkt überprüfen. Bekommst du in einer Umgebung um den Punkt die gleiche semidefinitheit heraus, dann hast du ein lokales Extremum. (Minimum oder Maximum, je nach Vorzeichen)
ja dafür habe ich ja die einheitsmatrix und mach daraus dann die determinante und ermittle den punkt ... stimmts ?
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Das versteh ich jetzt nicht ganz wie du das meinst, aber die Vorgangsweise ist folgende.
1. Extremumsverdächtige Stellen finden (Punkte bei denen die erte Ableitung die Nullabbildung ist)
2. Feststellen der Definitheit der ersten von der Nullabbildung verschiedenen Ableitung
2.a Ist die Ableitung Definit, dann hast du ein lokales Extremum gefunden (>0 ... Minimum, <0 ... Maximum)
2.b Ist die Ableitung Semidefinit, dann musst du die Ableitung in einer Umgebung um den Punkt betrachten. Hat sie dort die gleiche Semidefinitheit, dann liegt ebenfalls ein lokales Extremum vor.
2.c Ist die Ableitung Indefinit, so liegt kein lokales Extremum vor.
Der Vollständigkeit halber:
Die Definitheit eine Ableitung wird wie folgt definiert:
ist Negativ Definit, genau dann, wenn d^kf(\mathbf{x})(\mathbf{h})\dots (\mathbf{h})_{\text{k-mal}} < 0 \, \forall \mathbf{h} \neq \mathbf{0} \text{ in } \mathbf{V}Analog dazu gelten die Definitionen von Positiv Definit, Positiv Semidefinit und Negativ Semidefinit.
edit: Folgender \LaTeX-Code wird nicht angezeigt:
d^kf(\mathbf{x})(\mathbf{h})\dots (\mathbf{h})_{\text{k-mal}} < 0 \, \forall \mathbf{h} \neq \mathbf{0} \text{ in } \mathbf{V}