4. Probleme mit Eigenvektoren und Eigenräume

Probleme mit Eigenvektoren und Eigenräume

  • ?

    Hallo,

    ich habe Probleme bei dem Begriff des Eigenraums.

    Die Matrix A

    7 -12  6
10 -19 10
12 -24 13

    hat die Eigenwerte 1 und -1.

    Den Eigenraum für λ=1 möchte ich errechnen:
    (A-Eλ) * x = 0

    | 6 -12  6| 0|
|10 -20 10| 0|
|12 -24 12| 0|

    zweite und dritte Zeile sind vielfache von der ersten...

    | 6 -12  6| 0|
| 0   0  0| 0|
| 0   0  0| 0|

    durch 6 geteilt...

    | 1  -2  1| 0|
| 0   0  0| 0|
| 0   0  0| 0|

    also unterbestimmtes Gleichungssystem.

    Jetzt kann ich ja x_3 und x_2 beliebig setzten, also

    x_2 := x_3 := 1

    und damit ist zu fordern:
    x_1 = 1

    Mein Eigenvektor für λ=1 lautet also

    [1,1,1]'?

    Richtig? Weil er ja die homogene Gleichung (A-Eλ) * x = 0 erfüllt?
    Ist dieser eine Vektor bzw. seine Vielfachen jetzt der ganze Eigenraum für 1?

    Maple gibt mir nämlich andere Eigenvektoren an, die keine Vielfachen von dem sind, aber die Gleichung auch lösen, was laut Wikipedia genügen sollte. Welches Kriterium muss noch erfüllt werden?
    Weil Eigenraum klingt irgendwie so, als sei das etwas eindeutiges. Und Maple liefert mir 3 Eigenvektoren, obwohl ich ja nur zwei Eigenwerte habe 😕

    Danke

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  • L

    Der Eigenraum ist ein Vektorraum. Der Eigenraum zum Eigenwert 1 E_1 ist in diesem Fall zwei dimensional: E_1 = Span({(2, 1, 0), (-1, 0, 1)}).

    Und es gilt: (1,1,1) \in E_1..

    0
  • ?

    Ah ok,

    aber wie kommt man jetzt ausgerechnet auf die beiden Vektoren?
    [2, 1, 0], [-1, 0, 1]

    0
  • L

    Nach Gaußverfahren erhält man diese. Ist aber auch egal: (2,1,0), (1,1,1) z.B. spannen den gleichen VR auf..

    0
  • D

    Die sind ziemlich willkürlich. Machen wir es so, wie Du gesagt hat, wir wählen x2 und x3, und x1 ergibt sich dann derart, daß die Gleichung (1 -2 1) x = 0 erfüllt ist.

    Jetzt wählst Du, sagen wir mal, x2 = 3, x3 = 2, also ergibt sich x1 = 4. Einen ersten Eigenvektor hast Du also schon, aber Du kannst ja x2, x3 auch anders wählen, so daß sich ein anderer, linear unabhängiger Eigenvektor ergibt. Sagen wir: x2=2, x3=3. Dann findest Du x1=1.

    Jetzt hast Du den Eigenraum gefunden, der von den Vektoren (4 3 2) und (1 2 3) aufgespannt wird, die sind linear unabhängig, also ist alles fein. Wenn Du zB (x2 x3) als (1 0) und (0 1) wählst, dann kommst Du auf die Vektoren von life.

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  • ?

    Aha, also gibt es nicht den Eigenraum für einen Eigenwert, sondern man sucht nur der algebraischen Vielfachheit entsprechend viele Vektoren, die zueinander lin. unabhängig sind und alle die homogene Gleichung erfüllen.

    Danke ihr beiden

    PS: Weiß jemand, was in der linearen Algebra ein "orthogonaler Operator" ist?

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  • L

    SeppSchrot schrieb:

    Aha, also gibt es nicht den Eigenraum für einen Eigenwert, sondern man sucht nur der algebraischen Vielfachheit entsprechend viele Vektoren, die zueinander lin. unabhängig sind und alle die homogene Gleichung erfüllen.

    Doch es gibt den Eigenraum zum Eigenwert \lambda. Es gibt nur (im reelen) unendlich viele Basen, die diesen Vektorraum aufspannen.

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  • T

    SeppSchrot schrieb:

    Aha, also gibt es nicht den Eigenraum für einen Eigenwert, sondern man sucht nur der algebraischen Vielfachheit entsprechend viele Vektoren, die zueinander lin. unabhängig sind und alle die homogene Gleichung erfüllen.

    Es gibt zu jedem Eigenwert nur einen Eigenraum. Man kann den aber durch unterschiedliche Basen darstellen. span{ (1 0 0), (0 1 0) } ist doch auch das selbe wie span{ (1 1 0), (0 -1 0) }, oder?

    Ausserdem gibt die algebraische Vielfachheit nicht die Dimension des Eigenraums an. Das nennt man die geometrische Vielfachheit. Allerdings gilt immer, dass die algebraische größer oder gleich der geometrischen Vielfachheit ist.

    Rechne mal als Beispiel von

    1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2

    die Eigenwerte mit Vielfachheiten und ihren Eigenräumen aus.

    Edit: Besseres Beispiel gebaut.

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  • D

    SeppSchrot schrieb:

    PS: Weiß jemand, was in der linearen Algebra ein "orthogonaler Operator" ist?

    Ein Operator f ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Orthogonal ist die dann, wenn sie das Skalarprodukt invariant läßt, also
    <f(x),f(y)> = <x,y> für alle x,y (und <.,.> als Skalarprodukt).

    Solche Abbildungen kann man als Matrizen hinschreiben. Der Operator ist genau dann orthogonal, wenn die zugehörige Matrix orthogonal ist.

    0
  • ?

    Taurin:
    Ich bekomme
    λ=1 <- 2 mal
    λ=2 <- 2 mal

    Bei λ=2 kann ich ja x4 und x3 beliebig vorgeben, ich brauche zwei lin. unabhängige Vektoren insgesamt. Also z.b:
    [0,0,1,0], [0,0,0,1]

    Bei λ=1 ist aber x2 = x3 = x4 = 0 zwingend vorgegeben.
    Es bleibt nur x1. Damit sind alle Vektoren linear abhängig.
    Obwohl ich eigentlich zwei brauchen würde. Daher ist geometrische Vielfachheit nur eins?

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  • T

    Jepp. Ich schreib es noch mal mit den richtigen Vokabeln hin: Beide Eigenwerte haben algebraische Vielfachheit 2. Der EW 2 hat die geometrische Vielfachheit 2, der EW 1 hat die geometrische Vielfachheit 1, weil der Eigenraum dazu span{(1 0 0 0)} die Dimension 1 hat.

    Ein Beispiel, wo es andersrum ist (also die geometrische Vielfachheit größer als die algebraische Vielfachheit ist), wirst du nicht finden (weil gibts nicht). D.h. z.b. beim rechnen auch, dass algebraisch einfache Eigenwerte immer die geom. Vielfachheit eins habe.

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