Senkrechte zu einem Vector berechnen

Jover

berechne dir den orthogonalraum zu dem vektor und nimm einen beliebigen vektor daraus.

in einem Reellen Vektorraum mit kanonischen Skalarprodukt ist das der Lösungsraum des Gleichungssystems

x y z | 0

Das Aufgelöst ergibt dir eine Basis des Orthogonalraumes.

b1=(-y/x, 1, 0)^T    b2=(-z/x, 0, 1)^T

Hoffe, ich hab mich nirgends vertan.

.filmor

Da fehlen aber noch die Fallunterscheidungen, dass verschiedene Vektorkomponenten 0 sein könnten.

EricC

Mit dem Skalarprodukt. Das wird dann 0.

Das wäre auch der Weg, der mir am einfachsten erscheint.
Wähle beim Normalvektor 2 Komponenten nach belieben. Es ist aber darauf zu achten, dass, wie filmor anmerkte, beim Skalarprodukt ein vernünftig zu berechnender Wert raus kommt. Sonst sind andere Werte zu wählen.

zb. könnte das so aussehen:
x1=(x,y,z)
n1=(0,1,nz)
x*0+y*1+z*nz=0 => -y/z=nz
Solange z nicht 0 ist klappt es. Wäre dies der Fall, dann wäre es besser einen Vektor ähnlich n1=(nx,1,0) oder n1=(1,ny,0) zu wählen.

mfg
EricC

megaweber

Was spricht denn gegen "mein" Kreuzprodukt?

Jover

gar nichts. solange du keinen 'speziellen' vektor baruchst der auf den anderen normal steht ist die lösung mit dem x-Produkt wahrscheinlich die schnellste.

megaweber

Matheinteressierter schrieb:

...irgend einen Vector ... der senkrecht zu x1 ist....

Hab ne Frage hierzu:

berechne dir den orthogonalraum zu dem vektor und nimm einen beliebigen vektor daraus.

in einem Reellen Vektorraum mit kanonischen Skalarprodukt ist das der Lösungsraum des Gleichungssystems
x y z | 0

Wie bekomme ich denn hier aus einer Gleichung eine Lösungsmenge mit 3 Elementen? Und müsste es nicht

x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2 = 0

heißen, wobei v=(x1,y1,z1) der gegebene Vektor ist und (x2,y2,z2) der gesuchte Vektor, der orthogonal zu v ist? (Wahrscheinlich wieder hohe "unimathematik", die ich nicht verstehe?)

CStoll

Matzer schrieb:

Hab ne Frage hierzu:
berechne dir den orthogonalraum zu dem vektor und nimm einen beliebigen vektor daraus.

in einem Reellen Vektorraum mit kanonischen Skalarprodukt ist das der Lösungsraum des Gleichungssystems
x y z | 0
Wie bekomme ich denn hier aus einer Gleichung eine Lösungsmenge mit 3 Elementen? Und müsste es nicht
x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2 = 0

Die Gleichung hat nicht drei Lösungen, sondern unendlich viele (und die Schreibweise "x y z | 0" ist eine Kurzschreibung für die Skalarprodukt-Gleichung - dem Mathematiker sind die Variablenbezeichnungen egal, darum rechnet er nur mit den Koeffizienten ;)).

Die Gleichung hat nicht drei Lösungen, sondern unendlich viele

Nehmen wir mal den Vektor (1,2,3) und dazu soll ich alle möglichen orthogonalen Vektoren berechnen. Jover erwähnte etwas von "den Orthogonalraum" auszurechnen. Ich nehme man an, dass dies die Menge aller Vektoren ist, die zu obigem Vektor orthogonal sind. Wie berechne ich diesen Orthogonalraum jetzt bzw. was bedeutet

Reellen Vektorraum mit kanonischen Skalarprodukt ist das der Lösungsraum des Gleichungssystems
x y z | 0
Das Aufgelöst ergibt dir eine Basis des Orthogonalraumes.
b1=(-y/x, 1, 0)^T    b2=(-z/x, 0, 1)^T

Wenn ich mit obigem Vektor den Ansatz mit dem Skalarprodukt nehme, dann komme ich hierauf:

1*x1 + 2*x2 + 3*x3 = 0

, wobei (x1, x2, x3) der/die zu (1,2,3) orthogonale(n) Vektor(en) sein soll(en). Aber ich habe ja nur eine Gleichung, wie berechne ich damit denn dann die ganze Menge der orthogonalen Vektoren?

EricC

Aber ich habe ja nur eine Gleichung, wie berechne ich damit denn dann die ganze Menge der orthogonalen Vektoren?

da nur irgendein normalvektor benötigt wird, kann man 2 komponenten der normalvektors frei wählen.
schau einfach meinen beitrag von gestern genauer an. ich hoffe es ist verständlich, sonst einfach noch mal fragen.

mfg
EricC

ghorst

nicht ganz frei. einer der beiden gewählten werte sollte ungleich null sein.

da nur irgendein normalvektor benötigt wird, kann man 2 komponenten der normalvektors frei wählen.
schau einfach meinen beitrag von gestern genauer an. ich hoffe es ist verständlich, sonst einfach noch mal fragen.

mfg
EricC

Sagen wir ich wähle für die ersten zwei Komponenten des orthogonalen Vektor konkrete Zahlen, die dritte lass ich "variabel" (1,1,a3)... Dann habe ich mit
dem Skalaprodukt und dem vorgebenen Vektor (1,2,3)
1*1 + 2*1 + 3*a3 = 0 => 3*a3 = -3 =>a3 =-1, d.h. der Vektor (1,1,-1) ist orthogonal zu (1,2,3)
Damit habe ich aber nur einen Vektor... oben war aber die rede von einem ganzen "Raum". Dass ich mir irgendeinen Vektor zusammenbasteln kann, ist klar, aber wie komme ich auf die Berechnung der (gesamten) Menge der zu diesem Vektor orthogonalen Funktionen? (Ich hab in einem Skript etwas von Orthogonalräumen in Zusammenhang mit Basen gelesen, vielleicht kann ja darauf jemand mal genauer eingehen)

Bzw. kann ich, um den Orthogonalenraum zum Vektor v =(1,2,3) zu finden, auch folgenden Ansatz machen:
Ich wähle einen Vektor w =(λ,μ, π). Dann bilde ich das Skalarprodukt

<v,w> = 1*[e]lambda[/e] + 2*[e]mu[/e] + 3*[e]pi[/e] = 0
=>3*[e]pi[/e] = -2*[e]mu[/e]-[e]lambda[/e]
=>  [e]pi[/e] = -2/3*[e]mu[/e] - 1/3*[e]lambda[/e]

D.h. alle Vektoren (λ,μ, -2/3μ -1/3λ) wären orthogonal zu oberen. Kann man das so durchgehen lassen?

.filmor

Es ist das Selbe. Du definierst wiederum einen zweidimensionalen Unterraum. Wenn du mal den Vektor ein wenig auseinanderziehst erhälts du λ*(1, 0, -1/3) + μ * (0, 1, -2/3). Daraus kannst du die beiden Basisvektoren ablesen, die oben allgemeiner berechnet wurden.

Daraus kannst du die beiden Basisvektoren ablesen, die oben allgemeiner berechnet wurden.

D.h., dass alle Linearkombinationen dieser Basiskvektoren sind orthogonal zu meinem Ausgangsvektor, womit ich dann auch automatisch den Orthogonalraum habe?

Jover

zur Erklärung: Gegeben sei der Vektor x=(1 2 3).

Jeder Vektor (x y z) der die Gleichung: 1*x + 2*y + 3*z = 0 erfüllt steht normal auf x (bezüglich des kanonischen Skalarprodukts).

Auflösen dieses Gleichungssystems (mit _einer_ Gleichung) ergibt, dass jeder Vektor normal auf x steht, wenn er sich aus den Vektoren (-2 1 0) und (-3 0 1) linear Kombinieren lässt.

Also steht z.B.: 2*(-2 1 0) + (-3 0 1) = (-7 2 1) normal auf (1 2 3).

Probe: (-7 2 1) . (1 2 3) = -7*1 + 2*2 + 1*3 = 0 [OK]

Alles klar, ich denk ich hab's verstanden Aber im Prinzip reduziert sich die Frage im IR^3 (also im Anschauungsraum) doch darauf, zu einem Normalenvektor die von ihm beschriebene Ebene zu finden. Bekommt man sowas an der Uni bei Anwendungen dieser Aufgabenstellung auch mitgeteilt oder sollte der Student bereits so abstrakt denken können, dass dies für ihn vollkommen klar ist? Das obige Prinzip kann man ja (wahrscheinlich) für beliebige Vektorräume anwenden(z.B. stetige Funktionen), und in jedem Vektorraum kann man das Ergebnis(den Orthogonalenraum) vermutlich anders interpretieren. Ich wüsste jetzt z.B. nicht, wie man es zu interpretieren hätte, dass zwei Funktionen zueinander orthogonal sind, bzw. welchen Nutzen ich daraus ziehe.

Jover

siehe Fourieranalysis

Ok, da liegt der Vorteil aber doch nur darin, dass durch die Integration über eine unendlichen Reihe die "orthogonalen" Funktionen (cos(mx) usw...) bezüglich eines bestimmten Skalarproduktes wegfallen und der Rest stehen bleibt(so ungefähr ). Als Fourier diese Darstellung gefunden hatte, wusste er bestimmt noch nicht, dass die betrachteten Funktionen (sin(mx) usw..) orthgonal zueinander sind. Also welche konkrete Bedeutung hat es, dass Funktionen "orthogonal" zueinander sind bzw. welchen Vorteil? Kann ich durch orthogonale Funktionen eine Funktion besser approximieren (es gibt ja auch die (Lagrange oder Legendre)? Polynome, die (paarweise?) orthogonal zueinander sind und die, soweit ich weiß, besonders in der Approximationstheorie zum Einsatz kommen).

Jover

Bei diesen Anwendungen wird der Begriff der Orthogonalität über ein inneres Produkt definiert und hat nichts mit dem anschaulichen "rechten Winkel" zu tun.

Und in der Approximationstheorie (wie du sie nennst) werden unter anderem paarweise orthogonale Funktionen benötigt.
Google mal nach "Satz von Stone Weierstraß" und Fourierapproximation.

Man kann sich das auch teilweise anschaulich im IR^3 vorstellen.