Senkrechte zu einem Vector berechnen

Jover

siehe Fourieranalysis

Ok, da liegt der Vorteil aber doch nur darin, dass durch die Integration über eine unendlichen Reihe die "orthogonalen" Funktionen (cos(mx) usw...) bezüglich eines bestimmten Skalarproduktes wegfallen und der Rest stehen bleibt(so ungefähr ). Als Fourier diese Darstellung gefunden hatte, wusste er bestimmt noch nicht, dass die betrachteten Funktionen (sin(mx) usw..) orthgonal zueinander sind. Also welche konkrete Bedeutung hat es, dass Funktionen "orthogonal" zueinander sind bzw. welchen Vorteil? Kann ich durch orthogonale Funktionen eine Funktion besser approximieren (es gibt ja auch die (Lagrange oder Legendre)? Polynome, die (paarweise?) orthogonal zueinander sind und die, soweit ich weiß, besonders in der Approximationstheorie zum Einsatz kommen).

Jover

Bei diesen Anwendungen wird der Begriff der Orthogonalität über ein inneres Produkt definiert und hat nichts mit dem anschaulichen "rechten Winkel" zu tun.

Und in der Approximationstheorie (wie du sie nennst) werden unter anderem paarweise orthogonale Funktionen benötigt.
Google mal nach "Satz von Stone Weierstraß" und Fourierapproximation.

Man kann sich das auch teilweise anschaulich im IR^3 vorstellen.

Jover schrieb:

Bei diesen Anwendungen wird der Begriff der Orthogonalität über ein inneres Produkt definiert und hat nichts mit dem anschaulichen "rechten Winkel" zu tun.

Dass das nichts mit dem rechten Winkel der Anschauung zu tun hat, ist mir bewusst. Allerdings klammere ich mich immer noch sehr an den Gedanken, dass es eine gewisse "Interpretation" dafür gibt, warum zwei (Polynom-)Funktion, die bezüglich eines bestimmten Skalarprodukts "orthogonal" sind, eine Funktion am besten approximieren.

Dieses "Ich definiere mir irgendein Skalarprodukt(dass natürlich den Axiomen genügt) und siehe da, es liefert mir die gewünschten Eigenschaften" ist mir ein wenig suspekt^^. Naja, vielleicht blick ich es auch einfach noch nicht ganz und sollte warten, bis ich selbst studiere Werde jetzt erstmal nach den genannten Begriffen googlen, vielen Dank dafür

Jover

Ich denke, beim Approximationssatz von Stone Weierstraß wirsd du fündig.

Aber um es zu verstehen, denke ich fehlt dir noch etwas wissen in Linearer Algebra und Analysis.

Daniel E.

Matzer schrieb:

Dieses "Ich definiere mir irgendein Skalarprodukt(dass natürlich den Axiomen genügt) und siehe da, es liefert mir die gewünschten Eigenschaften" ist mir ein wenig suspekt

Nun, das was ich jetzt schreibe, ist zwar mathematisch etwas flapsig, aber es gibt dir vielleicht immerhin eine Idee, daß man sich da nicht einfach nur was definiert hat:

Nehmen wir das Standardskalarprodukt: <a, b> = <(a1 a2 ...), (b1 b2 ...)> = a1 b1 + a2 b2 + ...
Dieses Skalarprodukt funktioniert auch in großen Vektorräumen, prinzipiell sogar in solchen, mit unendlich vielen Komponenten (wenigstens, wenn die Summe konvergiert).
Eine Funktion, sagenwirmal, f:[0 1]->R ist aber prinzipiell auch nichts anderes als ein Vektor mit überabzählbar vielen Komponenten. Es gibt halt nicht mehr die Komponente in y-Richtung, sondern die Komponente an der Stelle 0,5 (diese Stelle enthält den Funktionswert: f(0,5)) usw. Wenn man jetzt dieses naive Standardskalarprodukt von oben anwendet: <f,g>, dann bekommt man eine Summe über die überabzählbar vielen Komponentenprodukte f(x)*g(x), mithin also ein Integral darüber.

Aber selbst wenn es nicht mehr anschaulich ist, daß ist doch das Tolle an der Mathematik: Du hast dir irgendwo(TM) man was bewiesen, stellst fest, daß ein anderes Problem der gleichen Axiomatik gehorcht und kannst deine Beweise direkt übertragen, ohne, daß es besonders anschaulich wäre. Darum versucht man ja überhaupt erst, Funktionen durch Vektorräume zu beschreiben, usw.

Nun, das was ich jetzt schreibe, ist zwar mathematisch etwas flapsig, aber es gibt dir vielleicht immerhin eine Idee, daß man sich da nicht einfach nur was definiert hat:...

Vielen Dank, genau nach so einer "flapsigen" Erklärung habe ich gerade gesucht So sehr ich ich es auch versuche, so ganz von der Anschauung kann ich mich noch nicht lösen ^^ Und wenn man nach Erklärung sucht, findet man meist immer nur

[e]int[/e]f(x)*g(x) erfüllt die Axiome eines Skalarprodukts und deshalb gilt blabla

Also nochmals vielen Dank, bis dann

Jover

Dann schau aber, dass du dich vom Anschaulichen löst, wenn du studieren willst