Funktionen

Hallo!

Eine normale Funktion mit nur einer Variable kann man schreiben als
f: |R -> |R

Eine Vektorfunktion als
f: |R -> |R^n

Ein Skalarfeld als
f: |R^n -> |R

Und ein Vektorfeld als
f: |R^n -> |R^m

Wenn ich ein Skalaresfeld ableite kommt doch ein Vektorfeld raus, aber was für eine Gestalt hat dann dieses Vektorfeld !?

f: |R -> |R^n kann ja nicht sein, weil ja weiterhin 2 variablen benötigt werden, aber f: |R^n -> |R
kann auch nicht sein, weil ja nicht nur eine Reelle Zahl rauskommt, sondern ein Vektor

Hier ein Beispiel:
Mein Skalarfeld:

f: |R^2 -> R
(x,y) |-> x^2 + y^2

Dann ist grad(f) ein Vektorfeld und

grad(f(x,y)) = (2x)
(2y)

Jetzt will ich beschreiben von was für einem Typ grad(f(x,y)) ist. Ich würde jetzt mal sagen

grad(f(x,y)): |R^2 x |R^1 -> |R^1 x |R^2

Stimmt das jetzt so !?

Aber man kann ein Vektorfeld ja mit f: |R^n -> |R^m beschreiben, wie groß wäre dann n und m !? Ist n = 1*2=2 und m=1*2=2 !?

LG. Stefan

Bashar

Wie wärs mit $f'\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ ? Ich seh vielleicht auch das Problem nicht.

n gibt ja nur die anzahl von den variablen an und nicht ob der wertebereich jetzt ein matrix ist, oder ein vektor !?

Mr.Fister

foobar schrieb:

n gibt ja nur die anzahl von den variablen an und nicht ob der wertebereich jetzt ein matrix ist, oder ein vektor !?

Der Wertebereich (besser Bildbereich) ist immer eine Menge. Eine Matrix oder ein Vektor sind beides keine Mengen.

Sei $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ gegeben.
Dann ist die Ableitung Df eine reellwertige lineare Abbildung auf $\mathbb{R}^n$ .
Diese hat die Matrixdarstellung
$\left( \frac{\partial f}{\partial x\_1} \frac{\partial f}{\partial x\_2} ... \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)$

Allgemein ist die Ableitungen von Funktionen $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ in der Matrixdarstellung $\left( \frac{\partial f\_i}{\partial x\_j} \right)_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m}$ . Siehe auch Jacobimatrix.

okay danke, habs kapiert!

lg, stefan

okay hab doch noch eine kurze frage.
Die funktion
f: |R^n -> R
ist ja laut defintion genau dann diffbar, wenn ein y existiert, sodass

f(x+h) - f(x) = y*h - o(||h||)

Dann ist also y*h eine lineare abbildung, für die gilt

L: |R^n -> |R
h |-> y*h

wobei y eine Element von |R^n ist !?

Die Funktionen
f: |R^n -> R^m
ist dann diffbar, wenn ein y existiert, sodass

f(x+h) - f(x) = y*h - o(||h||)

Dann ist also y*h eine lineare abbildung, für die gilt

L: |R^n -> |R^m
h |-> y*h

wobei y eine abbildungmatrix mit n spalten und m zeilen ist.

Stimmen diese Aussagen?!

Lg, stefan

Mr.Fister

Fast. Im oberen Absatz ist y ein Element des Dualraums von R^n. y ist die Matrixdarstellung von L, also eine Matrix mit einer Zeile und n Spalten.

Genauso wie im unteren Absatz eben, nur mit m=1.

okay, dann danke nochmal, aber du hast wahr. den oberen absatz mit dem unteren vertauscht, im oberen ist ja m=1

auf jeden fall vielen dank!

achso hab mich nur verlesen