Wavelet-Transformation, Koordinatentransformationen und ihre Metrik
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Servus zusammen,
wenn ich eine Koordinatentransformation mache, z.B. von der kartesischen zur kugelsymmetrischen Darstellung, bekomme ich bei einer Integration über eine Kugel und mit Hilfe des Transformationssatzes http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz einen metrischen Koeffizienten r^2*sin(theta) heraus. Wunderbar. Wenn ich aber nun mein kartesisches Koordinatensystem mit Hilfe einer Wavelet-Transformation in viele verschiedene kartesische Unterräume zergliedere, helfen mir meine mathematischen Fähigkeiten nicht mehr, um hier irgendeine Art von metrischen Koeffizienten zu definieren ?
Weiss jemand Rat ? Hat jemand eine Idee ? Hat jemand Literatur oder das richtige Stichwort für eine googl'sche Selbstsuche ?
Jeder Grashalm ist willkommen
Winn
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Winn schrieb:
Weiss jemand Rat ? Hat jemand eine Idee ? Hat jemand Literatur oder das richtige Stichwort für eine googl'sche Selbstsuche ?
Du hast ja jetzt gesagt, was nicht klappt. Aber noch nicht, was Du damit eigentlich bezwecken möchtest. Kannst Du das bitte noch ein bischen erläutern?
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Gregor schrieb:
Winn schrieb:
Weiss jemand Rat ? Hat jemand eine Idee ? Hat jemand Literatur oder das richtige Stichwort für eine googl'sche Selbstsuche ?
Du hast ja jetzt gesagt, was nicht klappt. Aber noch nicht, was Du damit eigentlich bezwecken möchtest. Kannst Du das bitte noch ein bischen erläutern?
Das haste Recht ! Um es weit zu fassen, möchte ich ein numerisches Stabilitätskriterium für das FDTD-Verfahren (numerische und iterative Lösung der Maxwellschen Gleichung mit Hilfe von Finiten Differenzen) im Wavelet-Bereich herleiten. Und um es kurz zu fassen, muss ich dazu den Gauss'schen bzw. Stokes'schen Satz im Wavelet-Bereich haben. Und um es noch plastischer zu machen, habe ich die Sätze eigentlich schon so weit, daß ich weiß, das für das Haar-Wavelet eine zusätzliche metrische Konstante der Größe "2" eingeführt werden muß, damit das Stabilitätskriterium mit Testmessungen/-simulationen übereinstimmt... Die "2" paßt eigentlich insofern auch schon, weil die diskrete Wavelet-Transformation mit Haar-W. ja auch zwei infinitisimale Wegstrecken dx zusammenführt, aber beweisen kann ich es nicht ?!
Hat jemand eine Idee ? Entspricht eine Wavelet-Transformation einer klassischen Koordinatentransformation, eigentlich ja doch nicht, oder ?
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Was meinst Du mit "klassische Koordinatentransformation"?
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Jester schrieb:
Was meinst Du mit "klassische Koordinatentransformation"?
Die Projektion von z.B. den kartesischen x,y und z-Komponenten auf die kugelsymmetrischen r,Alpha, Theta Komponenten über die Benutzung von Sinus-/Cosinus- und Pythagoras Sätzen...
Also
x = r sin(theta) cos(alpha)
y = r sin(theta) sin(alpha)
z = r cos(theta)oder umgekehrt
r = Wurzel(x^2 + y^2 +z^2)
tetha = arccos(z/r)
alpha = arctan(y/x)Wenn ich nun den Transformationssatz für die parametrisierten Kugelkoordinaten verwende ist der Betrag der Determinante über die differenzierte Parameterisierung gleich "r^2 sin(theta)". Dieser Faktor habe ich nun metrischem Koeffizienten benannt und gibt die Dehnung bzw. Streckung des Raumes wider. Bei einer Wavelet-Transformation projeziere ich ja nun meine x,y,z-Komponente in kartesische Unterräume... greifen bzw. ausrechnen kann ich mit dem Transformationssatz (http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz ) aber nicht, mir fehlt die Idee oder der Zugang, wie es weitergehen könnte...
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Winn schrieb:
Bei einer Wavelet-Transformation projeziere ich ja nun meine x,y,z-Komponente in kartesische Unterräume...
Das verstehe ich nicht. Bei der Wavelet-Transformation zerlegst Du doch (ähnlich wie bei der Fourier-Trafo) die Funktion und nicht den Parameterbereich?
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Jester schrieb:
Winn schrieb:
Bei einer Wavelet-Transformation projeziere ich ja nun meine x,y,z-Komponente in kartesische Unterräume...
Das verstehe ich nicht. Bei der Wavelet-Transformation zerlegst Du doch (ähnlich wie bei der Fourier-Trafo) die Funktion und nicht den Parameterbereich?
Die Wavelet-Transformation behält im Gegensatz zur Fourier-Transformation noch ihre örtliche Zugehörigkeit. Beispiel: Stelle dir eine zeitlich diskretisierte Cosinus-Funktion der Frequenz f0 vor, dann ergibt eine Fouriertransformation im Bildbereich einen Dirac-Stoss bei der Frequenz f0. Die Wavelet-Transformation zerlegt im einfachsten Fall die diskretisierte Funktion nun in einen Mittelwert- und Differenzen-Anteil. Mittelwert-Anteil durch Addition zweier benachbarter Werte (Summe von i und i+1), der nächste Mittelwert-Anteil die nächsten nicht überlappenden benachbarten Werte (Summe von i+2 und i+3) usw. Differenzen Anteil entsteht durch die Subtraktion zweier benachbarter Werte (Differenz von i und i+1) usw.. Die Transformation zergliedert also das Signal in eine "Hälfte" Mittelwert- und die "Resthälfte" Differenzen-Anteil.
Während im Frequenzbereich die zeitliche Zugehörigkeit vollkommen verloren geht, bleibt sie im Wavelet-Bereich quasi erhalten. Die Parametrisierung hat sich dahingegen verändert, daß ich für die Reproduktion eines Funktionswert im Ursprungsbereich beim Index i nun zwei Werte aus dem Wavelet-Bereich benötige, nämlich den Wert i im Mittelwert-Bereich und den Wert i+(Anzahl der Diskretisierungen durch Zwei) im Differenzen-Bereich. Siehe auch http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet
Zieht die Fourier-Transformation nicht auch eine Transformation des Parameter-Bereichs nach sich ? Schließlich ersetze ich die Zeitachse durch eine Frequenzachse, aber wesentlich wichtiger ist die Umskalierung der Amplitude, welche ich eher als Veränderung der Metrik ansehen würde...
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Mir ist schon klar, was eine Wavelet-Transformation tut. Aber ich verstehe nicht, was Du mit "erhält örtliche Zugehörigkeit" meinst. Genau wie die Fouriertransformation schreibt die Wavelet-Trafo eine Funktion als "Summe" über gewisse Basisfunktionen hin. Um nun das Signal zu rekonstruieren muß ich genauso alle diese Basisfunktionen "aufsummieren". Dass beim Haarwavelet fast alle 0 sind scheint mir eher an der Kompaktheit des Trägers des Mutterwavelets zu liegen, oder?
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Jester schrieb:
Mir ist schon klar, was eine Wavelet-Transformation tut. Aber ich verstehe nicht, was Du mit "erhält örtliche Zugehörigkeit" meinst.
Ich hatte mich in "erhält zeitliche Zugehörigkeit" korrigiert, ich verwende in dem oben genannten Verfahren die Wavelet-Transformation örtlich, deswegen spreche ich auch von der Metrik.
Okay, Stichwort: Zeitliche Zugehörigkeit. Stell Dir vor Dein Nachbar hat mal wieder die Musik zu laut aufgedreht, so dass Du in Deiner Wohnung schön seine Bässe heraushörst. Würdest Du das Signal über einen längeren Zeitraum aufzeichnen, könntest Du mit Hilfe einer Fourier-Transformation das Signal zerlegen und das dazu passende Frequenzspektrum erhalten, aber Du wirst die Information verlieren "Wann" Du besonders hohe bzw. tiefe Töne hast. Mit der Fourier-Transformation kannst Du nur sagen, ich habe die und die Frequenz mit der und der Amplitude.
Jester schrieb:
Dass beim Haarwavelet fast alle 0 sind scheint mir eher an der Kompaktheit des Trägers des Mutterwavelets zu liegen, oder?
Was meinst Du damit ?
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Winn schrieb:
aber Du wirst die Information verlieren "Wann" Du besonders hohe bzw. tiefe Töne hast. Mit der Fourier-Transformation kannst Du nur sagen, ich habe die und die Frequenz mit der und der Amplitude.
... innerhalb des transformierten Zeitfensters gehabt!
Ich glaube, Du wirfst etwas bei den Begriffen mit der Koordinatentransformation durcheinander, bzw. hälst hier bißchen extrem an einem bildhaften Beispiel fest.
Natürlich ist eine Funktionentransformation ein Basiswechsel, d.h. man hat eine Funktion als Komposition der Basisvektoren des zugrunde liegenden Funktionenraums, und wenn man die Funktion transfomiert nimmt man sich eine andere Darstellung des gleichen Funktionenraums, der aber andere Basisvektoren hat. Insofern gibt's eine Parallele zu einer Koordinatentransformation. Aber ich würde die Fouriertrafo deswegen noch lange nicht als Koordinatentransformation bezeichnen.
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Marc++us schrieb:
Winn schrieb:
aber Du wirst die Information verlieren "Wann" Du besonders hohe bzw. tiefe Töne hast. Mit der Fourier-Transformation kannst Du nur sagen, ich habe die und die Frequenz mit der und der Amplitude.
... innerhalb des transformierten Zeitfensters gehabt!
Ich glaube, Du wirfst etwas bei den Begriffen mit der Koordinatentransformation durcheinander, bzw. hälst hier bißchen extrem an einem bildhaften Beispiel fest.
Natürlich ist eine Funktionentransformation ein Basiswechsel, d.h. man hat eine Funktion als Komposition der Basisvektoren des zugrunde liegenden Funktionenraums, und wenn man die Funktion transfomiert nimmt man sich eine andere Darstellung des gleichen Funktionenraums, der aber andere Basisvektoren hat. Insofern gibt's eine Parallele zu einer Koordinatentransformation. Aber ich würde die Fouriertrafo deswegen noch lange nicht als Koordinatentransformation bezeichnen.
Ja und nein, gg... sagen wir, es ist eine halbherzige Koordinaten transformation, denn (mein Argument) die Fouriertrafo transformiert die Zeit- (Originalbereich) in den Frequenz-Bereich (Bildbereich), dabei erfährt die Amplitude des resultierenden Spektrums einen anderen Wert, welcher auch über die Streckung/Stauchung der y-Achse (Koordinatentransformation ausschließlich auf die f(y) Komponenten) interpretiert werden kann.
Um zu meinem Problem zurückzukehren, transformiere ich mit Hilfe von Wavelets eh nur im Ortsbereich, Ergebnis sind Tensoren (kennst ja das Prozedere), welche bei der allgemeineren Formulierung des Satzen von Stokes / Gauss einen Normierungsfaktor in Form eines metrischen Koeffizieten erhalten. Bisher kam ich ohne allgemeinere Formulierungen in der Tensorrechnung aus, jetzt geht es nicht mehr und lese mich gerade in die Thematik ein, sind ja nur 200 Seiten Tensor-Algebra + Sekundärliteratur *grpmfs* ...