Ableitung von e^x

Taurin

Du hast ein paar ... vergessen. Wenn du ein bischen Langeweile hast, kannst du dir ja ausdenken, warum du ueberhaupt den Ableitungsoperator unter das Summenzeichen ziehen darfst bzw. warum $\frac{d}{dx} \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d}{dx} {x^n \over n!}$ ist. Vor allem: Wie beweist man das?

*grimmsen**

Taurin schrieb:

Du hast ein paar ... vergessen. Wenn du ein bischen Langeweile hast, kannst du dir ja ausdenken, warum du ueberhaupt den Ableitungsoperator unter das Summenzeichen ziehen darfst bzw. warum $\frac{d}{dx} \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d}{dx} {x^n \over n!}$ ist. Vor allem: Wie beweist man das?

Wegen den vergessenen ... : e ist eine transzendente Zahl!

Das Abziehen ist möglich weil:
$(f \pm g)' = f' \pm g'$
Wegen dem Beweis melde ich mich in 2 Monaten wieder

Hast du einen Beweis dafür? Wäre mal interessant anzusehen.

laut definition gilt (f + g) (x) = f (x) + g (x) für alle x Element A

das setz du in lim h gegen null blabla ein und hasts dastehen

Jester

ºgrimmsenº schrieb:

Das Abziehen ist möglich weil:
$(f \pm g)' = f' \pm g'$

Interessant. Und wo geht da jetzt die absolute Konvergenz ein? Sieht ja so aus, als würde das immer gelten?

Kleiner Tipp: In dieser Art auf unendlich viele Operationen zu verallgemeinern ist falsch. Induktion verallgemeinert nur auf beliebig, aber endlich viele.

BarneyGumble

Schaut mal hier nach:
http://www2.ma.psu.edu/~csb15/m140/mod02/m102t6001.pdf

Jester

BarneyGumble schrieb:

Schaut mal hier nach:
http://www2.ma.psu.edu/~csb15/m140/mod02/m102t6001.pdf

Was soll uns das sagen? Abgesehen davon, dass es etwas schulmäßig ist, geht das imho an dem was wir hier diskutieren vorbei.

ja aber die eigentliche fragestellung: wie leitet man exp(x) ab, wird damit beantwortet, geht wirklich am einfachsten, wenn man weiß dass es die umkehrung von ln ist und man weiß dass die ableitung der umkehrfunktion g' gerade

g'(x) = 1/(f'(g(x)))

ist. durch einsetzen:

g(x) = exp(x)
f(x) = ln(x)
f'(x) = 1/x

g'(x) = (exp(x))' = 1/(1/exp(x)) = exp(x)

Kleiner Tipp: In dieser Art auf unendlich viele Operationen zu verallgemeinern ist falsch. Induktion verallgemeinert nur auf beliebig, aber endlich viele.

ja aber die reihendarstellung der exponentialfunktion ist eine unendliche reihe, die konvergenz einer unendlichen reihe ist aber wiederum definiert über den grenzwert von der reihe der partialsummen.
absolute konvergenz geht da aber wirklich nicht ein so wie ich das sehe, weil die bedeutet ja, dass wenn

Summe von Betrag ak konvergiert auch Summe von ak konvergiert, und das braucht man hier nicht, oder seh ich das falsch?

achja, der beweis für

g'(x) = 1/(f'(g(x)))

wenn g(x) die umkehrfkt von f(x) ist, dann gilt für alle x aus dem defbereich.

f(g(x)) = x |d/dx
f'(g(x))*g'(x) = 1
g'(x) = 1/f'(g(x))

(natürlich nur für f'(g(x)) nicht = 0)

lg, foobar

*grimmsen**

Und wo hast du das her?
$f(x) = ln(x); f'(x) = \frac{1}{x}$

Ich denke weiter nach und lese:
http://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Konvergenz

Wie mache ich in Latex newlines, und wie kann ich den Rand schicker machen?

Taurin

asdfasdfsadf schrieb:

f(x) = ln(x)
f'(x) = 1/x

Woher kommt denn nu ploetzlich die Ableitung des ln? Das schaut mir sehr nach einem Zirkelschluss aus; wenn ich jemanden die Ableitung den ln(x) herleiten sollte, braeuchte ich dafuer erstmal die Ableitung von exp(x). Wenn du mir das irgendwie anders herleiten kannst, waers natuerlich sehr huebsch

asdfasdfsadf schrieb:

Summe von Betrag ak konvergiert auch Summe von ak konvergiert, und das braucht man hier nicht, oder seh ich das falsch?

Japp, sieht du falsch. Man braucht die absolute Konvergenz, damit man die Ableitung und das Summenzeichen der Reihe vertauschen kann.

edit 1: Mit dem (ln(x))' war ich wohl zu langsam
edit 2: Absolute Konvergenz bekommt man mit dem Quotientenkriterium sehr schoen hin.

Jester

asdfasdfsadf schrieb:

ja aber die eigentliche fragestellung: wie leitet man exp(x) ab, wird damit beantwortet, geht wirklich am einfachsten, wenn man weiß dass es die umkehrung von ln ist und man weiß dass die ableitung der umkehrfunktion g' gerade

g'(x) = 1/(f'(g(x)))

ist.

wie schon bemerkt wurde muß man dazu die Ableitung vom ln kennen. Die wird üblicherweise genau auf diesem Weg über die Ableitung der e-Funktion gebildet.

Das was in dem pdf beschrieben wird, ist Ableitung der beliebigen Potenzfunktion. Die Zahl e wird dort darüber definiert, dass (e^x)' = e^x gilt (die Lösung die wir hier zeigen wird dort als zur Lösung definiert). Die Existenz eines solchen Wertes wird dort nicht bewiesen. Außerdem müßte man noch zeigen, dass sie mit der eulerschen Zahl e übereinstimmt.

pumuckl

Ich denke man kann den Ansatz mit der Reihe weiterverfolgen. Wie schon gesagt wurde darf man zwar die Summenregel der Ableitung nicht auf unendlich viele Summanden anwenden, aber auf endlich viele darf mans:
$e^x = \sum_{i=0}^{i=n}\frac{x^i}{i!} + R_n(x)$ mit Rn als Restterm. Hierfuer gilt die Ableitungsregel, und man sieht, dass $(e^x)^\prime = \sum_{i=0}^{i=n-1}\frac{x^i}{i!} + R^\prime_n(x)$

Die Differenz von beidem ist $\frac{x^n}{n!} + R\_n(x) - R^\prime\_n(x)$

Jetzt ist noch zu zeigen, dass $\frac{\lim}{n\rightarrow\infty} R^\prime_n(x) = 0$ , damit die Differenz = 0 und fertig

Jester

Der Knackpunkt an der Sache liegt allerdings im "ist noch zu zeigen". Für diesen Schritt benötigst Du nämlich die absolute Konvergenz.

ableitung des ln herleiten!? man kann den ln über seine ableitung definieren.
der ln muss folgende funktionalgleichung erfüllen (jede logarithmische funktion)

f(a*b) = f(a) + f(b)
daraus ergeben sich dann die ganzen gesetze wie

f(a/b) = f(a) - f(b)
f(1) = 0 usw.

ich nehme jetzt mal eine beliebige funktion f(x) die die funktionalsgleichung erfüllte und schaue wie ihre ableitung aussehen muss (h gegen null müsst ihr euch dazu denken)

f'(x) = lim [1/h * (f(x+h) - f(x))]

umschreiben mit den logarithmus rechenregeln:

f'(x) = lim [1/h * (f((x+h)/x)] = lim [1/h * (f((1+h/x))]

es spricht nichts dagegen h/x mit z zu substituieren und f(!) kann man ohne probleme vom ganzen subtrahieren weil es = 0 ist. also

f'(x) = lim [1/h * (f((x+h)/x)] = lim [1/(z*x) * (f((1+z) - f(1))]

so, jetzt mit einem grenzwertsatz (z geht ja jetzt gegen null) wird das ganze zu

f'(x) = 1/x * lim [1/(z) * (f((1+z) - f(1))]

wobei der hintere therm offensichtlich f'(1) ist, also

f'(x) = 1/x * f'(1)

um zur eigentlichen funktion f(x) zurückzukommen kann man nach dem hauptsatz der integralrechnung integrieren:

f(x) = f'(1) * int ( dx/x )

es spricht nun nichts dagegen f'(1) = 1 zu setzen und den natürlichen logarithmus so zu definieren (man kann sich natürlich jetzt denken wie sich die anderen log funktionen ergeben ...), also:

ln(x) := f(x) = int (dx/x)

so fertig. jetzt steht die ableitung vom ln gleich auch noch da und man kann darüber die ableitung der umkehrfunktion berechnen.
ich finds eleganter zuerst den ln so zu definieren und anschließend erst die exponentialfunktion und nicht umgekehr ...

lg, foobar

Jester

Dieser Zugang ist zumindest ungewöhnlich. Ich sehe keinen Vorteil darin den ln über das Integral zu definieren, wo man doch die Exponentialfunktion viel einfacher und elementarer definieren kann. Selbst dann, wenn man noch keine Integrale hat.