Taylor Formel

hermes

Hallo,

Das 3. Taylorpolynom T3,sin der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat diese Gestalt:

T3,sin(x) = x-(x^3/6).

Wie bekomme ich das 5. Taylorpolynom T5 hin?

T5,sin(x) = ?

rüdiger

$\sin x \, = \, \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n$

xroads42

$T(f(x),x\_0)=\frac{f(x)}{0!}(x-x\_0)^0+\frac{f^{\prime}(x)}{1!}(x-x\_0)^1+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2!}(x-x\_0)^2$ usw.

T₅ ist dann bis zur fünten Ableitung
sinus ableiten kannst du bestimmt selber. und für x_0 kann man null wählen

hermes

Hallo,

Bin in Mathe nicht so bewandert.

f(x) = sin(x);
f'(x) = cos(x);
f''(x) = -sin(x);
...
f'''''(x) = ?

T5 ist dann bis zur fünten Ableitung
sinus ableiten kannst du bestimmt selber. und für x_0 kann man null wähle.

Wie sieht soetwas aus, kleines Beispiel.

Daniel E.

Du mußt noch die Ableitungen am Entwicklungspunkt auswerten (die Idee dahinter ist, daß eine stetige Funktion in der Nähe des Entwicklungspunktes so ähnlich aussieht, wie die Summe der ersten paar Ableitungen an diesem Entwicklungspunkt).

Beispiel: f(x)=exp(x) soll um x_0=0 ausgewertet werden ... f'(x)=exp(x) ... f(x_0=0)=1 ...
T_2(x) = f(0) + f'(0) * x + 1/2 f''(0) * x^2 = 1 + x + 1/2 x^2

.filmor

f'''(x) = -cos(x)
f''''(x) = sin(x)
f'''''(x) = cos(x)

Pure Magie

Was hielt dich davon ab, das selbst auszurechnen? -1 ist auch nur eine Konstante.

Wenn du x_0 = 0 wählst vereinfacht sich die Taylorformel zu
$T_n(x) := \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0) x}{1!} + \frac{f''(0) x^2}{2!} + ...$ (xroads42 hatte sich glaube ich vertan, das Argument von f, f' etc. ist immer x_0, hier also 0)

hermes

Erstmal Danke für die Antwort.

Nun frage ich mich wie aus

$T_n(x) := \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0) x}{1!} + \frac{f''(0) x^2}{2!} + \frac{f'''(0) x^3}{3!}$

$T_3,sin(x) = x-\frac{x^3}{6}$

wird.

Und was bedeutet 3! das Ausrufezeichen.

hermes schrieb:

Und was bedeutet 3! das Ausrufezeichen.

Fakultät.

Die Fakultät ist eine Abbildung von den natürlichen in die natürlchen Zahlen, und wie folgt definiert. 
[latex] x! := \left\{ \begin{array}{ll}
 1 & \textrm{falls } x = 0 \\
 x \cdot (x - 1)! & \textrm{sonst}
\end{array} \right.
[/latex]

Bedeutet für x = 3: [latex]3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1[/latex]
Bedeutet für x = 5: [latex]5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1[/latex]

hermes

ProgChild schrieb:

hermes schrieb:

Und was bedeutet 3! das Ausrufezeichen.

Fakultät.

Die Fakultät ist eine Abbildung von den natürlichen in die natürlchen Zahlen, und wie folgt definiert. 
[latex] x! := \left\{ \begin{array}{ll}
 1 & \textrm{falls } x = 0 \\
 x \cdot (x - 1)! & \textrm{sonst}
\end{array} \right.
[/latex]

Bedeutet für x = 3: [latex]3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1[/latex]
Bedeutet für x = 5: [latex]5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1[/latex]

Alles klar, wusste ich nicht.

rüdiger schrieb:

$\sin x \, = \, \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n$

Ich Versuche das mal, sieht irgenwie vertrauter aus wie

$T_n(x) := \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0) x}{1!} + \frac{f''(0) x^2}{2!} + \frac{f'''(0) x^3}{3!}$

Das müsste doch eigentlich gehen
$\sin x \, = \, \sum^{3}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n$

Jester

ja, das geht auch. und liefert genau das gleiche.

hermes

Habe es mit Exel mal durchgespielt, einen sin bis PI gerechnet
und die Werte sind exakt gleich.

T3,sin(x) = x-(x^3/6) ist nur bis c.a. PI/4 genau verstehe ich nicht
ich dachte
$\sin x \, = \, \sum^{3}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n$
ist das Gleiche.

Jester

ne, das gleiche isses nicht. nur ungefähr gleich in der nähe von 0. umso meh terme du nimmst umso genauer ist es.

hermes

$\sin x \, = \, \sum^{3}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n$

$\sin x \, = x- \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}$

Dann ist

$\sin x \, = x- \frac{x^3}{6}$

doch kein Taylor-Polynom 3 Grades sondern 1 Grades

hermes schrieb:

$\sin x \, = \, \sum^{3}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n$

$\sin x \, = x- \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}$

Dann ist

$\sin x \, = x- \frac{x^3}{6}$

doch kein Taylor-Polynom 3 Grades sondern 1 Grades

Naja... der Grad des Polynoms ist ja schon 3. Daraus würd ich mal folgern, dass es nicht ganz so leicht geht und man die Taylor-Formel benutzen muss...

life

Das Taylorpolynom i-ten Grades ist dann einfach:
$\sum^{\left\lfloor \frac{i-1}{2} \right\rfloor}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n$

pumuckl

allgemein ist die Taylorreihe
$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x\_0)(x-x\_0)^n}{n!}$ , wobei f(n) die n-te Ableitung von f sein soll. Wenn man x0 = 0 setzt, ergibt sich beim Sinus bei jeder geraden Ableitung ein sin(0) = 0, weshalb diese rausfaellt. Zusammengefasst ergibt das die obige Formel $T_{(2m+1),\sin(x)} = \sum_{i=0}^m\frac{x^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}$
Wenn du in die erste allgemeine Formel die ersten 5 Ableitungen von sin einsetzt mit x0 = 0, wirst du selbst sehn welche Terme uebrig bleiben. Kleine Hilfe:
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120

Du wirst dann sehn, dass die ersten 5 Terme aus der ersten Formel beim SInus nur die ersten 3 terme der zweiten Formel sind - der zweite und 4te Term fallen weg.

.filmor

pumuckl schrieb:

ergibt sich beim Sinus bei jeder geraden Ableitung ein sin(0) = 0

Izz... Bitte korrigieren.

pumuckl schrieb:

Kleine Hilfe:
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 60

Wenn 4! = 24, dann ist 5! = 5 * 4! = 5 * 24 = 120

pumuckl

ProgChild schrieb:

pumuckl schrieb:

Kleine Hilfe:
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 60

Wenn 4! = 24, dann ist 5! = 5 * 4! = 5 * 24 = 120

Sry - korrigiert.

.filmor schrieb:

pumuckl schrieb:

ergibt sich beim Sinus bei jeder geraden Ableitung ein sin(0) = 0

Izz... Bitte korrigieren.

Und was gibts da zu korrigieren? sin(0) ist nunmal 0. Und die geraden Ableitungen (also Nullte, zweite, vierte...) vom sinus sind +/- sin.

pumuckl schrieb:

.filmor schrieb:

pumuckl schrieb:

ergibt sich beim Sinus bei jeder geraden Ableitung ein sin(0) = 0

Izz... Bitte korrigieren.

Und was gibts da zu korrigieren? sin(0) ist nunmal 0. Und die geraden Ableitungen (also Nullte, zweite, vierte...) vom sinus sind +/- sin.

Ich würde das nur ein bisschen anders schreiben. So ists ein bissel missverständlich.

So ist ein bisschen besser

[latex]sin^{(\alpha)} (0) = 0 \textrm{ fuer } \alpha = 0, 2, 4, \dots[/latex]

Dabei ist die $\alpha$ -te Ableitung

[latex]sin^{(\alpha)}[/latex]