Ein paar Fragen zum Basiswechsel

Hallo Leute,

ich beschäftige mich nun schon einige Zeit mit dem Basiswechsel und denke, dass ich es jetzt einigermaßen verstanden habe. Um sicher zu gehen, dass ich mir jedoch nichts falsches merke möchte ich euch bitten mir zu sagen, ob mein Wissen bis jetzt stimmt (sagt mir also einfach zu den einzelnen Punkten ob alles passt oder was falsch ist):

(Im folgenden sind alle Vektoren Zeilenvektoren, d.h. sie stehen links von Matrizen: v'=v*M. Ferner sind alle Vektoren aus R³)

Um von Basis B in die Standard-Basis (Std) zu wechseln:
Basisvektoren von B in die Zeilen der Matrix P
v_std = v_B * P

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2) Von Std-Basis in beliebige Basis B:
Das Inverse ist ja: B->Std und das ist nach 1) einfach die Matrix P,
mit den Basisvektoren von B als Zeilen von P. Um P(Std->B) zu bekommen
muss ich also P invertieren. Wenn Basis B orthonormal ist, ist P orthogonal und somit P^-1 = P^T
Ergo ist die gesuchte Matrix Matrix M(Std->B) einfach eine Matrix mit den Basisvektoren von B in den Spalten

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3) Jetzt der wichtigste Punkt. Mir ist der Zusammenhang zwischen Transformationsmatrizen (Rotation, Skalierung etc.) und Basiswechsel noch nicht ganz klar.
Nehmen wir mal an ich habe ein 2dim. kartesisches Koordinatensystem und einen Punkt p = (1,0), den ich jetzt um 90° gegen den Uhrzeiger drehen will. Der Punkt wird sich also nach oben auf (0,1) drehen.
Was mir aufgefallen ist: Ich komm auf das Ergebnis, wenn ich die kanonischen Standardachsen in die ENTGEGENGESETZTE Richtung drehe (also -90°) und dann einen Basiswechsel von Std zu den entgegengesetzt rotierten Achsen (nennen wir sie mal entg. RA).
Also quasi: Rotation um 90° = Rotation der Std-Achsen um -90° und dann Basiswechsel P(Std->entg. RA)
Beispiel: Rotation um -90° von (1,0) und (0,1) = (0,-1) und (1,0).
Der Punkt (1,0) bezüglich von entg.RA ist jetzt (0,1), also genau die Koordinaten die ich suche.
Aber wie kann ich das irgendwie formal ausdrücken? Funktioniert das bei allen linearen Transformationen (rotation, skalierung, scherung)?

Danke!

Jester

und 2) sind richtig.

Bei 3) ist mir nicht so ganz klar was Du meinst. Willst du darauf hinaus, dass es egal ist, ob man den Punkt in eine Richtung rotiert oder das Bezugssystem in die entgegengesetzte Richtung?

Jester schrieb:

Bei 3) ist mir nicht so ganz klar was Du meinst. Willst du darauf hinaus, dass es egal ist, ob man den Punkt in eine Richtung rotiert oder das Bezugssystem in die entgegengesetzte Richtung?

Ja, ich glaub genau so könnte man es sagen. Ich hab das eben bei der Rotation festgestellt, aber ich weiß nicht ob das bei jeder linearen Transformation gilt und wie man das formal sagen könnte. Also quasi irgendwie so:

Matrix einer Transformation:
1. Ausführung der inversen Transformation auf die Std-Achsen. Nennen wir die neuen Achsen B
2. Basiswechselmatrix M(Std->B)

M führt jetzt die Transformation aus. Kann man das immer so sagen? Und wie könnte man das mathematisch präzise und nicht in Prosa formulieren?

Jester

Naja, die Transformation sollte schon invertierbar sein. Ansonsten, schreib einfach die Formel für den von Dir angegebenen Basiswechsel mal stur auf. Du wirst sehen, es ergibt sich genau das gleiche... du wechselst von der Basis aus den Zeilen von T^-1 zur Standardbasis (oder so ähnlich) und mußt daher mit der Inversen von T^-1 multiplizieren... was eben genau T ist.

crashterpiece

Gegenfrage: dir ist klar, dass eine Transformations-Matrix ja auch lediglich einen Basiswechsel darstellt. Die Transformation ist lediglich eine "äussere" Veränderung des inneren Koordinatensystems.

Ich vergleich das immer mit einem Flugzeug und einem Passagier. Wenn das Flugzeug sich nach links neigt, dann befindet sich die Decke noch immer ÜBER dem Kopf des sitzenden Passagiers

Also so wirklich konntet ihr meine Fragen noch nicht klären

Ich frage mal anders:
Wenn ich Zeilenvektoren habe, dann stehen in den Zeilen die Bilder der Standardvektoren.
Beispiel Rotation um z-Achse im R³. x=(1 0 0) wird zu (cos(a) sin(a) 0) und y=(0 1 0) wird zu (-sin(a) cos(a) 0)
also sieht die Matrix RotY so aus:

( cos(a)   sin(a)   0)
( -sin(a)  cos(a)   0)
(   0         0     1)

Die Frage: WIESO ist das so? (mir ist nach wie vor der Zusammenhang zwischen Transformation und Basiswechsel nicht ganz klar )

megaweber

Dein altes Bezugsystem ist
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
und dein neues
(cos a, sin a, 0), (-sin a, cos a, 0), (0,0,1)

Ein Basiswechsel ist ein "Wechsel" des Kordinatensystems. Die dazgehörige Transformation rechnet jeden beliebigen Vektor aus dem einen ins andere Koordinatensystem um. Natürlich gilt dann auch für die Basis e_1, e_2, e_3:
$\mathbf e\_i' = \mathbf e\_i T$