Lineare Abbildung

Hallo,
ich hätte eine Frage zu linearen Abbildungen der linearen Algebra. In meinem Skript steht: Jede lin. Abb. f:V->W ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren festgelegt.
Der Beweis sieht so aus:

U=(u1,...,un) sei Basis von V, so lässt sich jeder Vektor v aus V als Linearkombination von U schreiben:
v = a*u1 + b*u2 + ... + n*un
f(v) = f(a*u1 + b*u2 + ... + n*un) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un)

Ich verstehe das jetzt so: Wenn ich also die Bilder ( f(ui) ) der Basisvektoren u habe, dann habe ich die Linearkombination von f(v) Element W.

Was ich nicht raffe:
f(v) ist Element W und muss sich ergo als Linearkombination einer Basis aus W beschreiben lassen. Aber das impliziert doch, dass die f(ui) die Basisvektoren von W sind. Heißt das, ich bilde IMMER Basisvektoren von V auf Basisvektoren in W ab?

Danke

Oh, was mir gerade noch eingefallen ist:
f(v) = f(a*u1 + b*u2 + ... + n*un) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un)

Impliziert das ferner nicht auch, dass dim(V) = dim(W)? Schließlich bilde ich ja JEDEN Basisvektor aus V auf EINEN in W ab.

Christoph

knoten_im_Hirn schrieb:

Oh, was mir gerade noch eingefallen ist:
f(v) = f(a*u1 + b*u2 + ... + n*un) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un)

Impliziert das ferner nicht auch, dass dim(V) = dim(W)? Schließlich bilde ich ja JEDEN Basisvektor aus V auf EINEN in W ab.

Nein, dann waeren lineare Abbildungen ja automatisch bijektiv. Du hast uebersehen, dass f(u_1) und f(u_2) derselbe Vektor sein koennen. Allgemeiner: Die f(u_i) zusammen koennen linear abhaengig sein. Also bilden sie nicht immer eine Basis von W, denn eine Basis besteht aus linear unabhaengigen Vektoren.

Umgekehrt gilt aber: Wenn die u_i eine Basis von V sind und die f(u_i) eine Basis von W bilden, dann ist dim(V) = dim(W) und f ist bijektiv.

Bashar

Ergänzung: Selbst wenn die f(ui) linear unabhängig sind, bilden sie noch nicht unbedingt eine Basis von W, es könnte ja sein, dass dim W > dim V.

BTW: Kann es sein dass unser LaTeX-Plugin keine pmatrix-Umgebung kennt? $\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$

Bashar schrieb:

Ergänzung: Selbst wenn die f(ui) linear unabhängig sind, bilden sie noch nicht unbedingt eine Basis von W, es könnte ja sein, dass dim W > dim V.

Ja. Aber wieso gilt denn dann der Satz "Eine lin. Abb. ist vollständig durch die Bilder der Basisvektoren beschrieben"?

CStoll

Es gibt auch Funktionen/Abbildungen, die nicht ihren kompletten Wertebereich ausfüllen (z.B. kannst du die Sinus-Funktion auch als sin:R->R definieren, auch wenn die Funktionswerte nur im Bereich [-1,1] liegen).

Ähm könnte vielleicht mal jemand wirklich meine Frage beantworten?

Wieso ist DAS

U=(u1,...,un) sei Basis von V, so lässt sich jeder Vektor v aus V als Linearkombination von U schreiben:
v = a*u1 + b*u2 + ... + n*un
f(v) = f(a*u1 + b*u2 + ... + n*un) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un)

der Beweis dafür, dass jede lin. Abb. durch die Bilder der Basisvektoren beschrieben ist?

Jester

Die Frage ist längst beantwortet.
Was willst Du denn mehr über eine Abbildung wissen, als welches Bild sie jedem Element zuordnet?

Also, die f(ui) können ja auf IRGENDWAS abgebildet werden. z.B. könnten ALLE f(ui) auf EINEN Vektor in W abgebildet werden.
Aber damit f(ui) ein gültiger Vektor ist, muss ich ihn ja als Linearkombination der Basis von W darstellen, also z.B: f(ui) = a*w1 + b*w2 usw...
Aber das ist doch nicht sicher gestellt, wenn ich die f(ui) auf IRGENDWAS abbilden kann?

Jester

Die f(u_i) sind per Definition in W. Dass sie sich dadurch auch in einer Basis von W darstellen lassen ist hier ohne belang.

Wichtig ist nur: Du kannst für jedes v aus V f(v) berechnen, obwohl Du nur die f(u_i) kennst. Und wie genau das geht steht in den drei Zeilen.

Jester schrieb:

Die f(u_i) sind per Definition in W. Dass sie sich dadurch auch in einer Basis von W darstellen lassen ist hier ohne belang.

Wichtig ist nur: Du kannst für jedes v aus V f(v) berechnen, obwohl Du nur die f(u_i) kennst. Und wie genau das geht steht in den drei Zeilen.

Ah, ich glaub langsam dämmerts^^

Kann ich das so sagen: Wenn ich die Bilder der Basisvektoren habe, kann ich jedes f(v) berechnen, da gilt: f(v) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un). Diese Linearkombination ergibt einen Vektor in W und diesen Vektor kann ich dann als Linearkombination der Basis von W darstellen.
Stimmt das so?

Noch was. Auf dieser Seite: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs10/seite40.html
Da steht ganz oben L(ei) = a1,j*f1 + ...
Ist das nicht eigentlich falsch? Die tun so, als wäre L(ei) automatisch f1 (sprich basisvektor auf basisvektor)

Bitte beide Fragen beantworten ^^

CStoll

knoten_im_Hirn schrieb:

Kann ich das so sagen: Wenn ich die Bilder der Basisvektoren habe, kann ich jedes f(v) berechnen, da gilt: f(v) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un). Diese Linearkombination ergibt einen Vektor in W und diesen Vektor kann ich dann als Linearkombination der Basis von W darstellen.
Stimmt das so?

Ja, das stimmt so (wobei die Basis von W hierfür uninteressant ist)

Noch was. Auf dieser Seite: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs10/seite40.html
Da steht ganz oben L(ei) = a1,j*f1 + ...
Ist das nicht eigentlich falsch? Die tun so, als wäre L(ei) automatisch f1 (sprich basisvektor auf basisvektor)

Die haben einfach die Abbildung "L" genannt - und die Stützstellen L(e_i) (in deinen bisherigen Beiträgen f(u_i)) als Linearkombination der Basis von W dargestellt.