Lineare Abbildung

[Christoph]

knoten_im_Hirn schrieb:

Oh, was mir gerade noch eingefallen ist:
f(v) = f(a*u1 + b*u2 + ... + n*un) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un)

Impliziert das ferner nicht auch, dass dim(V) = dim(W)? Schließlich bilde ich ja JEDEN Basisvektor aus V auf EINEN in W ab.

Nein, dann waeren lineare Abbildungen ja automatisch bijektiv. Du hast uebersehen, dass f(u_1) und f(u_2) derselbe Vektor sein koennen. Allgemeiner: Die f(u_i) zusammen koennen linear abhaengig sein. Also bilden sie nicht immer eine Basis von W, denn eine Basis besteht aus linear unabhaengigen Vektoren.

Umgekehrt gilt aber: Wenn die u_i eine Basis von V sind und die f(u_i) eine Basis von W bilden, dann ist dim(V) = dim(W) und f ist bijektiv.

[Bashar]

Ergänzung: Selbst wenn die f(ui) linear unabhängig sind, bilden sie noch nicht unbedingt eine Basis von W, es könnte ja sein, dass dim W > dim V.

BTW: Kann es sein dass unser LaTeX-Plugin keine pmatrix-Umgebung kennt? $\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$

[__knoten_im_Hirn__]

Bashar schrieb:

Ergänzung: Selbst wenn die f(ui) linear unabhängig sind, bilden sie noch nicht unbedingt eine Basis von W, es könnte ja sein, dass dim W > dim V.

Ja. Aber wieso gilt denn dann der Satz "Eine lin. Abb. ist vollständig durch die Bilder der Basisvektoren beschrieben"?

[CStoll]

Es gibt auch Funktionen/Abbildungen, die nicht ihren kompletten Wertebereich ausfüllen (z.B. kannst du die Sinus-Funktion auch als sin:R->R definieren, auch wenn die Funktionswerte nur im Bereich [-1,1] liegen).

[__knoten_im_Hirn__]

Ähm könnte vielleicht mal jemand wirklich meine Frage beantworten?

Wieso ist DAS

U=(u1,...,un) sei Basis von V, so lässt sich jeder Vektor v aus V als Linearkombination von U schreiben:
v = a*u1 + b*u2 + ... + n*un
f(v) = f(a*u1 + b*u2 + ... + n*un) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un)

der Beweis dafür, dass jede lin. Abb. durch die Bilder der Basisvektoren beschrieben ist?

[Jester]

Die Frage ist längst beantwortet.
Was willst Du denn mehr über eine Abbildung wissen, als welches Bild sie jedem Element zuordnet?

[__knoten_im_Hirn__]

Also, die f(ui) können ja auf IRGENDWAS abgebildet werden. z.B. könnten ALLE f(ui) auf EINEN Vektor in W abgebildet werden.
Aber damit f(ui) ein gültiger Vektor ist, muss ich ihn ja als Linearkombination der Basis von W darstellen, also z.B: f(ui) = a*w1 + b*w2 usw...
Aber das ist doch nicht sicher gestellt, wenn ich die f(ui) auf IRGENDWAS abbilden kann?

[Jester]

Die f(u_i) sind per Definition in W. Dass sie sich dadurch auch in einer Basis von W darstellen lassen ist hier ohne belang.

Wichtig ist nur: Du kannst für jedes v aus V f(v) berechnen, obwohl Du nur die f(u_i) kennst. Und wie genau das geht steht in den drei Zeilen.

[__knoten_im_Hirn__]

Jester schrieb:

Die f(u_i) sind per Definition in W. Dass sie sich dadurch auch in einer Basis von W darstellen lassen ist hier ohne belang.

Wichtig ist nur: Du kannst für jedes v aus V f(v) berechnen, obwohl Du nur die f(u_i) kennst. Und wie genau das geht steht in den drei Zeilen.

Ah, ich glaub langsam dämmerts^^

Kann ich das so sagen: Wenn ich die Bilder der Basisvektoren habe, kann ich jedes f(v) berechnen, da gilt: f(v) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un). Diese Linearkombination ergibt einen Vektor in W und diesen Vektor kann ich dann als Linearkombination der Basis von W darstellen.
Stimmt das so?

Noch was. Auf dieser Seite: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs10/seite40.html
Da steht ganz oben L(ei) = a1,j*f1 + ...
Ist das nicht eigentlich falsch? Die tun so, als wäre L(ei) automatisch f1 (sprich basisvektor auf basisvektor)

Bitte beide Fragen beantworten ^^

[CStoll]

knoten_im_Hirn schrieb:

Kann ich das so sagen: Wenn ich die Bilder der Basisvektoren habe, kann ich jedes f(v) berechnen, da gilt: f(v) = a*f(u1) + b*f(u2) + ... + n*f(un). Diese Linearkombination ergibt einen Vektor in W und diesen Vektor kann ich dann als Linearkombination der Basis von W darstellen.
Stimmt das so?

Ja, das stimmt so (wobei die Basis von W hierfür uninteressant ist)

Noch was. Auf dieser Seite: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs10/seite40.html
Da steht ganz oben L(ei) = a1,j*f1 + ...
Ist das nicht eigentlich falsch? Die tun so, als wäre L(ei) automatisch f1 (sprich basisvektor auf basisvektor)

Die haben einfach die Abbildung "L" genannt - und die Stützstellen L(e_i) (in deinen bisherigen Beiträgen f(u_i)) als Linearkombination der Basis von W dargestellt.