Äquivalenz von Aussagen zeigen (Mengenlehre)
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Hallo, habe einige Aussagen und muss zeigen, dass sie äquivalent sind. Mir fehlt nur der Ansatz, zum lösen der ganze Aufgabe.
Also: A, B = Mengen, Abbildung f: A->B
(a) f ist injektiv.
(b) Für alle C subset A gilt: f^-1(f(C)) = C
(c) ...
(d) ...Ich will nun zeigen, dass (a) => (b) => (c) => (d) => (a) womit das ganze fertig wäre. Jedoch fehlt mir überhaupt die Idee wie ich sowas zeigen kann. Also hoffe ich jemand kann mir am Beispiel (a) => (b) zeigen wie das geht.
Danke.
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(a) => (b):
(Injektiv heißt für mich: f(x) = f(y) <=> x = y.)
Aus der Injektivität folgt, dass es zu jedem Element x in C genau ein Element y = f(x) in f(C) gibt. Das Urbild von y ist aufgrund der Injektivität ebenfalls eindeutig, nämlich x. Da das für alle x gilt folgt die Behauptung.Ich glaube, das stimmt so (die Eindeutigkeiten könnte und sollte man noch näher ausführen, aber das bekommst du sicherlich auch selbst hin).
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Das ist zwar richtig, aber imho nicht ausführlich genug. Grundsätzlich gilt: Wenn man Schwierigkeiten bei der Gleichheit von Mengen hat, dann sollte man versuchen gegenseitige inklusion zu zeigen. Dazu entnimmt man ein beliebiges Element der einen Menge und zeigt, dass es auch in der anderen enthalten ist.
Wann ist etwas in f^-1(f(C))? na klar, wenn es unter anwendung von f in C landet. Das gilt aber für jedes x in C nach Definition von f(C). Also gilt C ist in f^-1(f(C)). (wir haben hier keine injektivität gebraucht, das gilt immer)
jetzt fehlt noch f^-1(f(C)) ist in C.
sei also x in f^-1(f(C)). Dann ist f(x) in f(C). Das heißt es gibt ein y in C mit f(y) = f(x) (sonst wäre ja das f(x) nicht in f(C)). Dann folgt aber wegen der Injektivität: x=y. Also ist x auch in C.