Anzahl der Lösungen einer Gleichung bestimmen

hi community,

habe da eine kleines Problem beim lösen einer gleichung bzw. das lösen ist gar nicht so wichtig, sondern eher wie viele lösungen die gleichung hat. dürfte eigentlich recht einfach sein aber irgendwie hab ich das gefühl ich steh aufm schlauch...
also so sieht die gleichung aus: ax²+by²=c , wobei a, b, c bekannt sind und x und y positive ganze zahlen sind. also als bsp. mal (a=3, b=-1, c=59)

3x²-y²=59

weiß gerade echt nich wie ich da vorgehen soll...
muss keine vollst. lösung sein - tipps oder links reichen auch

vielen dank schonmal im voraus

Borschtsch

Hallo,

löse die Gleichung mit dem Gleichungsystem nach x und y auf, der Rest ergibt sich dann praktisch von alleine.

Gruß

Borschtsch schrieb:

löse die Gleichung mit dem Gleichungsystem nach x und y auf, der Rest ergibt sich dann praktisch von alleine.

war jetzt auch mein erster gedanke aber da komm ich zu keinem vernüftigen ergebnis:

3x²-y²=59   | -3x² | *(-1)
y²=3x²-59  =>  y=(3x²-59)^(1/2)
/* einsetzen */
3x²-((3x²-59)^(1/2))²=59
3x²-3x²+59=59

hast dus so gemeint oder hab ich da was falsch verstanden?

ghorst

du wirst eine gleichung mit zwei variablen nur in abhängigkeit von einer der beiden lösen können. will heißen: du hast da eine funktionsbeschreibung vorliegen. um genau zu sein, ax²+by²=c ist eine verkürzte form der gleichung für kegelschnitt. bei deinen parameter u. randbedingungen sollte das einen hyperbelarm ergeben.

ghorst schrieb:

du wirst eine gleichung mit zwei variablen nur in abhängigkeit von einer der beiden lösen können.

ok ich dacht mir schon irgendwie, dass die gleichung unlösbar ist, aber gibt es dann trotzdem eine möglichkeit die anzahl der möglichen lösungen für x und y (beide ganz und positiv) zu bestimmen?

ghorst

ja. die menge ist unendlich groß...
die gleichung beschreibt für x,y>0 den ast einer hyperbel im ersten quadranten. nicht mehr und nicht weniger.

wenn du das ding mit irgendwas schneiden sollst oder irgendwelche anderen dinge damit verbinden sollst, kann man das nicht weiter "lösen".

Mario Sandler

Aber er will es ja nicht lösen, sondern nur die Anzahl der Lösungen wissen,
ich würde also einfach den Bereich ausrechnen in dem es eine Lösung gibt.

y=(3x²-59)^(1/2)

Unter der Wurzel steht also 3x²-59.
Wenn bei diesem Term etwas positives herauskommt
dann gibt es eine Lösung, bei etwas negativen nicht:

3*x²-59 >= 0
3*x² >= 59
x² >= 19,666
x >= 4.434 bzw x <= -4.434

In diesem Bereich: x=5..∞ oder x=-5..-∞
Liegen also die Lösungen, es sind unendlich viele.

Für den Bereich x=-4..4 gibt es keine Lösung.

ghorst

x>0, daher sind die beiden bereich nur 0..4 und 5..unendlich.

edit: rest murks....

ok vielen dank! das sieht soweit schon sehr gut aus. jetzt ist mir aber aufgefallen, dass bei negativem b auch noch gilt x>y also wäre dann die einzige lösung y=4 (für x=5). was mich aber noch interressieren würde: gibt es für sowas auch eine formel mit der ich direkt die anzahl der lösungen berechnen kann (sowas wie die diskriminante bei der MNF) ? das soll nämlich nachher in C geschrieben werden und jede lösung der gleichung 3x²-y²=c für jedes c zu überprüfen ob x>y stimmt und ob die zahl ganz ist etc. hört sich für mich relativ umständlich an. ich werds noch ein bisschen vereinfachen: die gleichung lautet 3x²-y²=c --- x, y, c sind positive ganze zahlen, x>y gilt außerdem.

Ich würde folgenden Ansatz versuchen:

für x^2 und y^2 die Variablen s und t substituieren. Dann hast Du eine "diophantische Gleichung". Lösungsmethoden hierfür gibt's bei google. Anschließend musst Du nur schauen welches Lösungspaar aus Quadratzahlen besteht.

MrBesserwisser schrieb:

Ich würde folgenden Ansatz versuchen:

für x^2 und y^2 die Variablen s und t substituieren. Dann hast Du eine "diophantische Gleichung". Lösungsmethoden hierfür gibt's bei google. Anschließend musst Du nur schauen welches Lösungspaar aus Quadratzahlen besteht.

danke für den tip! was ich aber an dem wikipedia artikel (der hier) nicht so ganz verstehe ist der teil 'auffinden einer partikulalösung'. wie ich s erhalte ist mir klar, nur nicht wie ich dann u/v erhalte. da ich ja für x0/y0 konkrete werte und nicht wieder variablenausdrücke erhalten will, muss ja u und v bekannt sein. oder nimmt man da wieder zufällige ganze zahlen??