4. hae, Grenzwert?

hae, Grenzwert?

  • N

    Ich steh gerade mal wieder etwas auf dem Schlauch.
    Wie kommt man auf sowas?
    lim(x->∞)(-x+sqrt(x^2 - x)) = -1/2
    Ist als Hinweis zu einer Aufgabe gegeben...

    Und weil der Term gleich auch noch vorkommt: Was waere dann nur
    lim(x->∞)(sqrt(x^2 - x))
    😕

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  • T

    Tipp:

    x2−x=(x−12)2−14x^{2}-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}

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  • M

    Wie kommt man auf das?

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  • *

    Hi,

    ich glaube, man kann das mit der ε-Methode rausfinden:

    Definition:
    Die Funktion f: x→f(x) (rechtsseitig unbeschränkt) heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn es für x→∞ zu jedem noch so kleinen ε > 0 eine reelle Zahl S gibt, sodass für alle x > S gilt:
    f(x) Element U[e]epsilon[/e](a). 😮
    Das heißt, dass sich deine Funktion einer horizontalen Asymptote nähert (bei dir -0,5) und man den Funktionswert immer weiter eingrenzen kann.

    Ich weiß aber nicht, wie man das auch rechnerisch lösen könnte. Meiner Meinung nach funktionieren weder Grenzwertsätze noch irgendwelche Tricks mit Umformen. 😕 (Vielleicht bin ich nur blind 😃 )

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  • *

    Sorry für das Doppelposting. Ich hab gerade erst deine neue Frage entdeckt.

    Du musst quadratisch ergänzen:
    x2 - x = x2 - x + 1/4 - 1/4 = (x - 1/2)2 - 1/4

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  • N

    Aha...
    Ja, MasterCounter, ich vermute mal, dafuer muss man schon ausgefuchster Mathematiker sein. Waer mir mindestens bis zur Klausur nicht eingefallen, diese Gleichung in diesem Zusammenhang. 😃

    Also mal potentiell blamabler Schuss ins Blaue:
    lim(x->∞)(-x+sqrt(x^2 - x)) = lim(x->∞)(-x+sqrt( (x-1/2)^2 - 1/4)) = lim(x->∞)(-x+x-sqrt(1/4)) = -1/2
    Und dann ist einfach
    lim(x->∞)(sqrt(x^2 - x)) = lim(x->∞)(x) = ∞
    😕

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  • D

    Du darfst Wurzeln nur aufspalten, wenn da multipliziert oder dividiert wird.

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  • N

    Wunderbar, hilft mir nur leider nicht wirklich weiter, dieses mathematische Gefrickel nachzuvollziehen. 😞

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  • D

    Ja, ich saß ja selber noch dran 😉

    Also meine Vermutung ohne Anspruch auf Korrektheit, aber vielleicht gut für einen Ansatz:

    lim(x->∞)(-x+sqrt((x-1/2)^2 - 1/4)) < (oder <=?) lim(x->∞)(-x+sqrt((x-1/2)^2)) = -x+abs(x-1/2) = -1/2

    Nun reißt mich auseinander 😉

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  • T

    Richtig, nun fehlt nur noch >=

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  • N

    Jou, ich glaube, das war so weit nachvollziehbar. Man dankt. 👍

    Nur bin ich mir noch nicht so ganz schluessig, was ich mit dem 2. Term machen soll.
    Vielleicht zum besseren Verstaendnis den ganzen Aufgabenteil (sry, kein Latex)
    Zur besseren Uebersicht:
    u:=sqrt(b^2-b)

    lim(b->∞)( (exp((-b+u)x) - exp((-b-u)x)) / 2u)

    Mit der gegebenen Hilfestellung (lim(b->∞)(-b+u)) komme ich dann auf

    lim(b->∞)( exp(-1/2 *x) - exp(1/2 *x)) / 2u)

    Wenn nun lim(b->∞)(u) = lim(b->∞)(sqrt(b^2 - b)) >= lim(b->∞)(sqrt((b-1/2)^2)) = lim(b->∞)(abs(b-1/2)) = ∞
    ist, kommt da irgendwie nichts gescheites raus. Hab' ich da noch was uebersehen?

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  • D

    Spontan gesagt, mußt du jetzt den Grenzwert von 1/u bei b->∞ ausrechnen. Der Rest ist ja bzgl. b konstant.

    @Theston: Kannst du mir nen Tip geben? Ich komm irgendwie nicht drauf, wie ich die untere Abschätzung machen sollte. 😡

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  • B

    Hier noch ein anderer Ansatz:

    lim -x + sqrt(x^2-x)
    = lim -x + abs(x)sqrt(1-1/x)
    = lim -x + x    sqrt(1-1/x) | da x->+inf
    = lim x*(-1+sqrt(1-1/x))
    = lim (-1+sqrt(1-1/x)) / (1/x)
    = lim (1/2*sqrt(1-1/x)*(-(-1/x^2))) / (-1/x^2) | Regel von Hospital
    = lim -(1/2*sqrt(1-1/x))
    x->+inf => 1/x -> 0 => sqrt(1-1/x) -> 1
    = -1/2

    D-U-D-Es Lösung ist aber eleganter.

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  • T

    Find ich jetzt auch keinen für >=, aber ein direkterer Weg, ohne l'Hôpital wäre:

    \sqrt{x^{2}-x}-x\\ =\frac{\left(\sqrt{x^{2}-x}-x\right)*\left(\sqrt{x^{2}-x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}-x}+x\right)}\\ =\frac{x^{2}-x-x^{2}}{\left(\sqrt{x^{2}-x}+x\right)}\\ =\frac{-x}{\left(\sqrt{x^{2}-x}+x\right)}\\ =\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1}\\ \rightarrow-\frac{1}{2}
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