hae, Grenzwert?
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Sorry für das Doppelposting. Ich hab gerade erst deine neue Frage entdeckt.
Du musst quadratisch ergänzen:
x2 - x = x2 - x + 1/4 - 1/4 = (x - 1/2)2 - 1/4
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Aha...
Ja, MasterCounter, ich vermute mal, dafuer muss man schon ausgefuchster Mathematiker sein. Waer mir mindestens bis zur Klausur nicht eingefallen, diese Gleichung in diesem Zusammenhang.
Also mal potentiell blamabler Schuss ins Blaue:
lim(x->∞)(-x+sqrt(x^2 - x)) = lim(x->∞)(-x+sqrt( (x-1/2)^2 - 1/4)) = lim(x->∞)(-x+x-sqrt(1/4)) = -1/2
Und dann ist einfach
lim(x->∞)(sqrt(x^2 - x)) = lim(x->∞)(x) = ∞
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Du darfst Wurzeln nur aufspalten, wenn da multipliziert oder dividiert wird.
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Wunderbar, hilft mir nur leider nicht wirklich weiter, dieses mathematische Gefrickel nachzuvollziehen.
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Ja, ich saß ja selber noch dran
Also meine Vermutung ohne Anspruch auf Korrektheit, aber vielleicht gut für einen Ansatz:
lim(x->∞)(-x+sqrt((x-1/2)^2 - 1/4)) < (oder <=?) lim(x->∞)(-x+sqrt((x-1/2)^2)) = -x+abs(x-1/2) = -1/2
Nun reißt mich auseinander
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Richtig, nun fehlt nur noch >=
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Jou, ich glaube, das war so weit nachvollziehbar. Man dankt.
Nur bin ich mir noch nicht so ganz schluessig, was ich mit dem 2. Term machen soll.
Vielleicht zum besseren Verstaendnis den ganzen Aufgabenteil (sry, kein Latex)
Zur besseren Uebersicht:
u:=sqrt(b^2-b)lim(b->∞)( (exp((-b+u)x) - exp((-b-u)x)) / 2u)
Mit der gegebenen Hilfestellung (lim(b->∞)(-b+u)) komme ich dann auf
lim(b->∞)( exp(-1/2 *x) - exp(1/2 *x)) / 2u)
Wenn nun lim(b->∞)(u) = lim(b->∞)(sqrt(b^2 - b)) >= lim(b->∞)(sqrt((b-1/2)^2)) = lim(b->∞)(abs(b-1/2)) = ∞
ist, kommt da irgendwie nichts gescheites raus. Hab' ich da noch was uebersehen?
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Spontan gesagt, mußt du jetzt den Grenzwert von 1/u bei b->∞ ausrechnen. Der Rest ist ja bzgl. b konstant.
@Theston: Kannst du mir nen Tip geben? Ich komm irgendwie nicht drauf, wie ich die untere Abschätzung machen sollte.
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Hier noch ein anderer Ansatz:
lim -x + sqrt(x^2-x)
= lim -x + abs(x)sqrt(1-1/x)
= lim -x + xsqrt(1-1/x) | da x->+inf
= lim x*(-1+sqrt(1-1/x))
= lim (-1+sqrt(1-1/x)) / (1/x)
= lim (1/2*sqrt(1-1/x)*(-(-1/x^2))) / (-1/x^2) | Regel von Hospital
= lim -(1/2*sqrt(1-1/x))
x->+inf => 1/x -> 0 => sqrt(1-1/x) -> 1
= -1/2D-U-D-Es Lösung ist aber eleganter.
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Find ich jetzt auch keinen für >=, aber ein direkterer Weg, ohne l'Hôpital wäre:
\sqrt{x^{2}-x}-x\\ =\frac{\left(\sqrt{x^{2}-x}-x\right)*\left(\sqrt{x^{2}-x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}-x}+x\right)}\\ =\frac{x^{2}-x-x^{2}}{\left(\sqrt{x^{2}-x}+x\right)}\\ =\frac{-x}{\left(\sqrt{x^{2}-x}+x\right)}\\ =\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1}\\ \rightarrow-\frac{1}{2}