Berechnungen zum ISBN-Code

[rean]

Hi

Folgende Aufgabe:

Die ISBN besteht aus 9 Ziffern + Prüfziffer.
Die Prüfziffer wird wie folgt berechnet:
(1*z1+2*z2+3*z3+4*z4+5*z5+6*z6+7*z7+8*z8+9*z9) mod 11

Bei der Eingabe der ISBN treten folgende Fehler am häufigsten auf:
(i) Eine der ersten 9 Ziffern wird falsch eingegeben
(ii) Zwei der ersten 9 Ziffern werden vertauscht

Zeigen sie das mit Hilfe der Prüfziffer solche Fehler erkannt werden können.

(i):
Da 11 eine Primzahl ist ist (a_i*b)mod 11 immer ungleich (a_i*c)mod 11 für c!=b
=> \sum_{i=1}^{9}{((a\_i\*z\_i)mod 11)} \neq \sum_{i=1}^{9}{((a\_i\*z\_j)mod 11)} wenn sich die Mengen z_i und z_j nur an einer Stelle unterscheiden.
Da der maximale Unterschied 10 ist ist (\sum_{i=1}^{9}{((a\_i\*z\_i)mod 11))mod 11} \neq (\sum_{i=1}^{9}{((a\_i\*z\_j)mod 11))mod11}.
w.z.b.w.
Ich glaube zwar dass diese Lösung richtig ist aber da ich selbst kein Mathe studiere habe ich keine Ahnung wie man das korrekt schreiben muss.
Wäre euch sehr verbunden wenn ihr mir dabei helfen könntet.

Für die (ii) hab ich überhaupt keinen Plan. Jemand eine Idee?

mfg
rean

[CStoll]

Bild doch mal in beiden Fällen die Differenz der ISBN-Prüfsummen (ohne Modulo) und dann versuch zu beweisen, daß diese nicht durch 11 teilbar ist.

Im ersten Fall:
S₁ = Sum(iz_1i), S₂ = Sum(iz_2i), z_1k≠z_2k
(eine der Ziffern ist falsch)

-> S₁-S₂ = k * (z₁-z_2k)

k liegt zwischen 1 und 9, die Differenz zwischen -9 und 9, unter welchen Bedingungen ist das Produkt durch 11 teilbar?

(btw, dafür ist nicht nur wichtig, daß 11 eine Primzahl ist - sie muß auch größer als 9 sein)