4. Integration mit Polstelle

Integration mit Polstelle

  • D

    Hallo,

    Ich möchte folgendes Integral lösen
    ∫−11∫−221x2+y2dxdy\int_{-1}^1 \int_{-2}^2 \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dx dy

    Das ganze sollte ohne Transformation in Polarkoordinaten klappen, da ich ein so erhaltenes Ergebnis bestätigen möchte.
    Die Integration nach x ist dabei noch nicht das Problem

    ∫−11ln(x+x2+y2)∣−22dy=∫−11ln(2+4+y2−2+4+y2)dy\int_{-1}^1 \ln(x+\sqrt{x^2+y^2})|_{-2}^2 dy = \int_{-1}^1 \ln(\frac{2+\sqrt{4+y^2}}{-2+\sqrt{4+y^2}}) dy

    aber dann hörts bei mir auf. Wer eine Idee hat, bitte posten.

    Dazu hab ich noch eine Frage: ergibt das Integral überhaupt einen sinnvollen Wert? Bei x=0 und y=0 ist ja schließlich eine Polstelle eingeschlossen.

    Christian

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  • ?

    wahrscheinlich irgendenie substitution oder soetwas

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  • D

    Es kann durchaus ein sinnvoller Wert rauskommen. Wenn du 1/x von 0...n integrierst hast du zwar eine Polstelle drin, aber es existiert dennoch ein Grenzwert.

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  • D

    also muss ich das integral dann umschreiben in

    4⋅limt→0∫_t1∫_t21x2+y2dxdy4 \cdot \lim_{t \rightarrow 0} \int\_t^1 \int\_t^2 \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dx dy

    😕

    Ich hab das ganze mal durch Maple gejagt und da auch ein paar Ergebnisse bekommen. Ich würde die nur zum einen gerne nachvollziehen können und zum zweiten weiß ich nicht inwieweit ich denen trauen kann, wegen der Polstelle.
    Hier erstmal die Maple-Lösung für das unbestimmte Integral

    ∫∫1x2+y2dxdy=∫ln(x+x2+y2)dy\int \int \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dx dy = \int \ln(x+\sqrt{x^2+y^2})dy

    =ln(x+x2+y2)y+xln(y+x2+y2)−y=\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})y + x \ln(y + \sqrt{x^2+y^2}) -y

    Als Ergebnis für oben genanntes bestimmtes Integral erhalte ich dann
    ∫−11∫−221x2+y2dxdy=9.6242\int_{-1}^1 \int_{-2}^2 \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dx dy = 9.6242

    Hat Maple da nun die Polstelle berücksichtigt??? Matlab weigert sich da nämlich mir einen Wert zurückzugeben.

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  • T

    Also ich hab das mal eben durchgerechnet und bekomme auch 9,62424.

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  • ?

    würd hier nicht so gar der residuensatz funktionier, wär noch eleganter, als polarkoord ;), sonst, wenn du as x integral eh schon gelöst hast, wieso spaltest du den ln nicht auf mit ln(a/b) = ln(a) - ln(b) und so weiter!?
    für die richtige berechnung brauchst du halt dann no 2 limes, du brauchst noch von -2 bis 0 und von -1 bis 0

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  • D

    Genau das habe ich auch gemacht, allerdings habe ich jetzt das Integral irgendeiner gebrochenen Funktion, mit Wurzeln im Nenner 🙄

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