4. Problem mit Beweis

Problem mit Beweis

  • I

    Hallo zusammen
    Ich übe gerade ein wenig die Beweisführung in der Mathematik, was eigentlich auch bereits ganz gut klappt! Allerdings mit der folgenden Relation habe ich echt Probleme:

    xRy :<=> x-y Element Z
    Wie kann ich beweisen, dass diese Relation transitiv ist? Ich habe mir überlegt, dass die einzelnen Elemente der Subtraktion den selben Nachkommawert haben müssen. Aber wie stelle ich das dar? Odär liege ich auf dem Holzweg?

    Mfg Ishildur

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  • T

    Tipp:
    Die Summe zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl.

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  • I

    Sorry mein Fehler ich muss es vielleicht so schreiben:

    x,y Element R
    xRy :<=> (x-y) Element Z

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  • T

    Ändert nichts an meinem Tipp, und war mir auch vorher klar 😉

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  • I

    Naja, zwei beliebige reele Zahlen können subtrahiert aber ebenfalls eine ganze Zahl ergeben, solange der Bereicht hinter der Kommastelle identisch ist:

    x = 2.3875
    y = 8.3875
    z = 34.3875

    transitive Beziehung: AxAyAz((xRy and yRz) -> xRz);

    x-y Element Z -> Wahr
    y-z Element Z -> Wahr
    x-z Elemnt Z -> Wahr, aber muss bewiesen werden

    Meine Begründung (nicht mathematisch): x kann zu y nur dann in Beziehung stehen, wenn x sowie y denselben Nachkommawert aufweisen. Wenn nun y auch mit z in Beziehung steht, müssen y und z ebenfalls denselben Nachkommawert aufweisen! Aufgrund dessen folgt, dass auch x und z denselben Nachkommawert aufweisen müssen!

    Aber wie beweise ich das nun mathematisch?
    Ich meine die Symmetrie habe ich folgendermassen bewiesen:
    |x-y| = |-(x-y)| = |-x+y| = |y-x|

    Aber dies kann ich hier natürlich nicht mehr anwenden, weil ja der Betrag von x-z natürlich nicht mehr mit demjenigen von x-y oder y-z übereinstimmt! Dies ist aber auch nicht das ausschlaggebende Argument sondern eben dass der Nachkommawert aller 3 variablen identisch sein muss!

    Lg Ishildur

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  • C
    Mod

    Ishildur schrieb:

    x-y Element Z -> Wahr
    y-z Element Z -> Wahr
    x-z Elemnt Z -> Wahr, aber muss bewiesen werden

    Meine Begründung (nicht mathematisch): x kann zu y nur dann in Beziehung stehen, wenn x sowie y denselben Nachkommawert aufweisen. Wenn nun y auch mit z in Beziehung steht, müssen y und z ebenfalls denselben Nachkommawert aufweisen! Aufgrund dessen folgt, dass auch x und z denselben Nachkommawert aufweisen müssen!

    Aber wie beweise ich das nun mathematisch?
    Ich meine die Symmetrie habe ich folgendermassen bewiesen:
    |x-y| = |-(x-y)| = |-x+y| = |y-x|

    Du kannst 0 addieren, also -y+y: Dann bekommst du dass x-z dasselbe ist wie x-y+y-z. Dann schau dir nochmal Thestons Tipp an.

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  • T

    Transitivität beweist man nicht durch Gleichheit, sie ist definiert durch
    (x,y) e R ^ (y,z) e R => (x,z) e R.
    Nimm dir also ein (x,y) und ein (y,z) und folgere.
    (x,y) e R ^ (y,z) e R => (x-y) e Z ^ (y-z) e Z => ...

    Dein Symmetriebeweis ist auch sehr ominös, aber in diesem Fall klappt er. Algebra-Beweise ist zum großen Teil Anwendung von Definitionen.

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  • I

    Naja, also ich ja überhaupt kein Mathematiker, aber was du nun gemacht hast, war einfach eine logische Aussage, jedoch kein Beweis?!

    Nehmen wir einmal an, ich müsste das Kommutativgesetz der Multiplikation beweisen, dann kann ich doch auch nicht einfach folgendes schreiben:

    AxAy((x*y=1) -> (y*x=1))

    Denn dies ist einfach eine quantifizierte Aussage, aber kein algebraischer Beweis?!

    Lg Ishildur

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  • T

    Kommutativität ist auch nicht über eine Implikation definiert, Transitivität schon, nämlich wie geschrieben, muss für ALLE x, y, z aus der Menge gelten:
    Wenn (x,y) in der Relation liegt und (y,z) in der Relation liegt, dann liegt auch (x,z) in der Relation.
    Das muss du also für deine spezielle Relation für alle x, y, z zeigen.
    Man nimmt sich dann also beliebe x, y, z her und zeigt, dass die Folgerung stimmt:

    (x,y) e R ^ (y,z) e R => (x-y) e Z ^ (y-z) e Z => (x-y) + (y-z) e Z => (x-z) e Z => (x, z) e R

    Die dritte Folgerung gilt wegen oben Genanntem.

    Anderes Beispiel: Symmetrie ist definiert über:
    für alle x, y gitl: (x,y) e R => (y,x) e R
    man nimmt sich also beliebige x, y und folgert:
    (x,y) e R => (x-y) e Z => -(x-y) e Z => (y-x) e Z => (y,x) e R.

    Zweite Folgerung gilt, weil das Negative eienr ganzen Zahl wieder eine ganze Zahl ist.

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  • I

    @Theston

    Man nimmt sich also beliebige x, y und folgert:

    Ja aber eine Relation ist doch nur dann transitiv, wenn diese Bedingung für alle möglichen Kombinationen von x,y,z erfüllt ist ?! Man kann doch nicht einfach ein beliebiges Tupel herauspiken und zeigen, dass es genau mit diesem funktioniert! Damit ist doch noch lange nicht bewiesen, dass es kein Tupel gibt, für welches diese Relation nicht zutrifft!

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  • T

    Wenn du x, y, z beliebig wählst und es klappt, klappt es logischerweise für alle.

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