Existenz von Gruppenhomomorphismen
-
Ich denke, die Behauptung ist falsch.
Dazu versuchen wir mal einen Nicht-Trivialen Homomorphismus von Z/15Z nach Z/12Z anzugeben. Das dürfte ja nach Behauptung dann eigentlich nicht gehen.Und zwar über den Zwischenschritt Z/3Z (3 ist gemeinsamer Teiler von 15 und 12).
Dann finden wir nämlich einen surjektiven Homomorphismus f: Z/15Z --> Z/3Z.
Und verwenden dann Multiplikation mit 4 als Homomorphismus von g:Z/3Z --> Z/12Z. g ist sicher injektiv.h := g o f ist dann homom. Z/15Z --> Z/12Z. Da f surjektiv ist, ist das Bild von f der Z/3Z. Und da g injektiv ist, das das Bild von f und damit das Bild von h dann nicht trivial.
edit: meine Vermutung: n und m dürfen nicht teilerfremd sein, damit's klappt.
-
Wie soll Zn eine Gruppe sein, wenn n keine Primzahl ist? Damit scheidet die Teilbarkeit von n und m aus.
-
Mathematikker schrieb:
Wie soll Zn eine Gruppe sein, wenn n keine Primzahl ist? Damit scheidet die Teilbarkeit von n und m aus.
ist genau dann ein Körper (also auch eine multiplikative Gruppe), wenn n prim ist. Es ist aber für jedes n eine additive Gruppe.
-
Wenn Z/nZ ein Körper ist, ist Z/nZ noch lange keine multiplikative Gruppe.
-
Tatsache. Dafür müsste noch die 0 raus.
-
Mein Beweis stimmt jedenfalls nicht da ich verwendet habe, dass h injektiv ist (was nicht gegeben ist). Wenn das zusätzlich gegeben wäre, dann würde es doch aber stimmen oder?
Ist Z/nZ eigentlich genau das gleiche wie Zn oder gibt es da einen Unterschied? Wenn nein wie kommt man auf diese Notation?
Ist ein trivialer Homomorphismus einer der alles auf das neutrale Element abbildet? (Wiki schweigt darüber.)
-
Ben04 schrieb:
Ist ein trivialer Homomorphismus einer der alles auf das neutrale Element abbildet? (Wiki schweigt darüber.)
Ja. Und der existiert ja immer zwischen zwei Gruppen.
-
Ben04 schrieb:
Ist Z/nZ eigentlich genau das gleiche wie Zn oder gibt es da einen Unterschied? Wenn nein wie kommt man auf diese Notation?
http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring
http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorring
-
Ben04 schrieb:
Mein Beweis stimmt jedenfalls nicht da ich verwendet habe, dass h injektiv ist (was nicht gegeben ist). Wenn das zusätzlich gegeben wäre, dann würde es doch aber stimmen oder?
Ja, dann bekommst Du nämlich ein Bild, das isomorph zur ersten Gruppe ist. Du kannst damit die erste Gruppe als Untergruppe der zweiten auffassen. Und damit folgt die Aussage dann direkt aus dem Satz von Lagrange.
-
Danke