primitives element in GF(256)

Hallo leute,

kann mir jemand sagen, ob das polynom x primitives element von GF(256) = F₂[X]/(x⁸ + x⁵ + x³ + x² + 1)
ist?

Wüßte nicht wie ich das schnell ausrechnen könnte....

danke schon mal im voraus!

Jester

Ich nehme an, Du meinst primivites Element der Multiplikativgruppe? Da hilft wohl nicht viel außer nachrechnen... Glücklicherweise hat 255 (das wäre ja dann die Ordnung) nur wenige Teiler, nämlich 3, 5 und 17. Du mußt also nur prüfen, ob x^n mit n teilt 255 das Neutralelement ergibt. 255 hat glücklicherweise nicht soooo viele Teiler.

Jester schrieb:

Ich nehme an, Du meinst primivites Element der Multiplikativgruppe? Da hilft wohl nicht viel außer nachrechnen... Glücklicherweise hat 255 (das wäre ja dann die Ordnung) nur wenige Teiler, nämlich 3, 5 und 17. Du mußt also nur prüfen, ob x^n mit n teilt 255 das Neutralelement ergibt. 255 hat glücklicherweise nicht soooo viele Teiler.

danke für die Antwort!
x^3 und x^5 ergeben nicht das neutrale Element.
wenn ich mich bei x^17 nicht verrechnet habe, kommt x^7+x5+x^3+x2 raus. damit ist es wohl ein primitives element.

wie nennt sich dieses verfahren eigentlich, mit dem man überprüfen kann, ob ein element primitiv ist?

Jester

Sorry, da hab ich mich sehr undeutlich ausgedrückt... die Primteiler sind 3, 5 und 17. Du mußt aber alle Teiler abtesten. Das sind leider ein paar mehr, nämlich zusätzlich noch 3*5 = 15, 3*17 = 51 und zuguterletzt noch 5*17 = 85.

Tipp: mit square and multiply muß man nicht gar so viel rechnen.