Vertauschbare Matrizen
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Hi!
Gibt es einen Satz, wann AB = BA gilt? (A und B sind 2x2 Matrizen)
Ich habe 2 Rotationsmatrizen (http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsmatrix), und in diesem Fall scheint die Kommutativität zu gelten. Ich weiß, daß das jedoch nicht im Allgemeinen so ist. Gibt es irgendeinen Satz, der besagt wann die Multiplikation kommutativ ist?
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Kommutativität von Drehmatrizen gilt auch nur im R^2.
Ansonsten ist mir kein Satz bekannt, der weitere Rückschlüsse auf kommutierbare Matrizen zulässt. Da es in der Quantenmechanik von enormen Interesse ist, wann zwei Matrizen (bzw. Operatoren) kommutieren, wüsste ich höchstwahrscheinlich von einem solchen Satz, wenn es einen gäbe.
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Mr.Fister schrieb:
Kommutativität von Drehmatrizen gilt auch nur im R^2.
Gilt sie im R^2 denn immer?
(Blöde Frage, hat sich erledigt ;))
Vielen Dank für die Antwort!
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Das gilt zum Beispiel wenn beide Matrizen simultan diagonalisierbar sind, also wenn es ein gibt so dass sowohl T^{-1}\*A\*T als auch T^{-1}\*B\*T Diagonalmatrizen sind.
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KPC schrieb:
Das gilt zum Beispiel wenn beide Matrizen simultan diagonalisierbar sind
Was ist wohl einfacher - zwei Matrizenmultiplikationen ausführen oder dieses gemeinsame T zu suchen?
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CStoll schrieb:
KPC schrieb:
Das gilt zum Beispiel wenn beide Matrizen simultan diagonalisierbar sind
Was ist wohl einfacher - zwei Matrizenmultiplikationen ausführen oder dieses gemeinsame T zu suchen?
Was hat Dein Einwand wohl mit der Charakterisierung vertauschbarer Matrizen zu tun?
Vielleicht weißt Du zumindest mal, dass das T existiert. Dann isses doch praktisch zu wissen, dass man die Matrizen dann auch vertauschen darf.
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Ja, aus der Sicht könntest du Recht haben (aber gilt die Implikation auch umgekehrt, d.h. "wenn die Matrizen vertauschbar sind, sind sie simultan diagonalisierbar"?).
Außerdem hat man ja nicht immer das Glück, ein passendes T zur Hand zu haben - und wenn es aufwendiger ist, dieses T zu finden als die Matrizen zu multiplizieren, ist die Lösung nur für Ausnahmefälle einsetzbar.
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CStoll schrieb:
Ja, aus der Sicht könntest du Recht haben (aber gilt die Implikation auch umgekehrt, d.h. "wenn die Matrizen vertauschbar sind, sind sie simultan diagonalisierbar"?).
Nein, leider nicht. Aber wie so oft, wenn man eben keine vollständige Charakterisierung zur Hand hat sucht man sich eben möglichst große Teilmengen, für die die Aussage gilt.
Außerdem hat man ja nicht immer das Glück, ein passendes T zur Hand zu haben - und wenn es aufwendiger ist, dieses T zu finden als die Matrizen zu multiplizieren, ist die Lösung nur für Ausnahmefälle einsetzbar.
Ja, aber manchmal hat man auch das A und B garnicht zur Hand. Man weiß nur, es sind zwei Matrizen A und B mit irgendwelchen Eigenschaften. Und über irgendwelche Umwege kann man zeigen, dass ein geeignetes T existiert... von Hand nachrechnen ist eben auch nicht immer möglich. Zum Beispiel wenn man was theoretisches macht und nicht nur mit konkreten Werten rechnet.