Projektive Geometrie

[Dola]

Hallo ihr,

sitze hier vor ´ner Aufgabe und bin mir gar nicht sicher, wie ich die anpacken soll.

Die Aufgabe lautet:

Sei K ein Körper und V,W K-Vektorräume. Sei weiter f: P^n(V) -> P^n(W) eine Kollineation. Zeigen Sie, dass für 0 <= k <= n k-dimensionale Unterräume von P^n(V) in k-dim. Unterräume von P^n(W) abgebildet werden.

Ich weiß, eine kollineation ist eine bijektive Abbildung, die geradentreu ist.
Im Prinzip habe ich also im V^(n+1) eine K-lineare Abb., die bijektiv ist.
Kann ich nun mittels einer Basis argumentieren:

Sei {v_0,...,v_n} eine Basis von V^(n+1) dann ex. ja eindeutig eine K-lineare Abb. h mit h(v_0) = w_0, wobei die w_i mit i=0,..,n eine Basis für W^(n+1) bilden.
Sei nun U ={v_0,...,v_k} für k<=n eine Basis eines Unterraums.
Dann gilt ja wegen Bijektivität (und wegen P/=Q -> f(P) /= f(Q) da f Kollineation)
h(U) = {w_0,..,w_k} -> dim h(U) = k = dim U

Kann ich auf diese Weise argumentieren?

Wäre super, wenn ihr mir helfen könnt.

Grüßle,
Dola