Integral sinx * cosx

Hi,
ich muss eine Stammfunktion von (sinx)*(cosx) bestimmen. Eigentlich macht man das ja partiell.
Leider habe ich im Kopf aber diesen Lösungsweg, welcher aber leider nicht das richtige Ergebnis mit liefert. Wo ist der Denkfehler?

int(sinx * cosx dx)
=int(t * cosx * (dt/cosx) )      mit t=sinx
=int(t dt)
=codx + C

Maxi

int(t dt)=t^2/2

nur das minus muss noch iwie rein

uhm, nein. Wobei du rest hast. Die letzte Zeile muss

=-cosx + C

sein.

Nichtsdestotrotz ändert das nicht an meinem Problem. (-cosx + C)' ist niemals (sinx * cosx ).

Theston

Uhm, doch.

Maxi schrieb:

int(t dt)=t^2/2

ist korrekt, du kannst nicht einfach t ersetzen und über x integrieren, du musst über t integrieren.

Ben04

Alternativer Weg:

Additionstheorem für sin:
sin(x+y) = sin(x)* cos(y)+ sin(y) * cos(x)

Speziell für x=y:
sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x)

int(sinx * cosx dx)
= int(sin(2x)/2 dx)
= -1/4*cos(2*x) + C
"Doppelwinkelfunktionen"
= -1/2cos(x)^2 - 1 + C
= -1/2*cos(x)^2 + C

und das ist das gleiche Resultat welches du erhalten hättest wenn du int(t dt) richtig berechnest hättest

D-U-D-E

int(sinx * cosx dx) = int ((e^(jx)-e(-jx))/2j * (e^(jx)+e(-jx))/2 dx)
= 1/(4j) int (e^(j2x)-e(-j2x) dx) = 1/(4j) (e^(j2x)+e(-j2x))/2j = -1/4 cos(2x)

Ribosom

D-U-D-E schrieb:

int(sinx * cosx dx) = int ((e^(jx)-e(-jx))/2j * (e^(jx)+e(-jx))/2 dx)
= 1/(4j) int (e^(j2x)-e(-j2x) dx) = 1/(4j) (e^(j2x)+e(-j2x))/2j = -1/4 cos(2x)

Physiker oder E-Techniker?

D-U-D-E

Informatiker (mit E-Technik Nebenfach :D)

Manuelito

Wie Theston schon sagte, zuerst integrieren und danach resubstituieren. Hab das mal aufgeschrieben, wie es richtig sein muss:

$\int \sin x \cdot \cos x \, dx = \int t \cdot \cos x \cdot \frac{dt}{\cos x} = \int t\, dt = \frac{t^2}{2} +c = \frac{\sin^2 x}{2} + c$

loose

Man kann das Ganze auch partiell integrieren:
$\int{\sin{x}\cdot\cos{x}\, dx}=\sin^2{x}-\int{\sin{x}\cdot\cos{x}\, dx}$
$\Rightarrow\int{\sin{x}\cdot\cos{x}\, dx}=\frac{1}{2}\sin^2{x}$

mfg, loose