Komplexe Zahlen, Obermenge aller Zahlen ?
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antwort antworter schrieb:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternionen
Aber es gibt auch "Zahlen", die nicht in den reellen/komplexen/... enthalten sind, siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_Körperthank you
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Gibt auch da nochmal etwas drüber, die Oktonionen.
Fragt mich jetzt aber nicht nach dem Zweck von denen..Oder das Sedenion.
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Allgemein spricht man auch von hyperkomplexen Zahlen.
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Allerdings sollte man dann mal irgendwann anfangen sich Gedanken darüber zu machen, was denn nun "Zahlen" sein sollen. Offensichtlich geht es nicht nur um die Menge der Objekte, sondern auch um deren Verknüpfungen. Wieviele davon braucht's bis wir etwas "Zahlen" nennen und welche Eigenschaften müssen die haben? Dürfen die sich beliebig verhalten? Oder wollen wir noch ein bißchen mehr Kontrolle haben?
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Wenn man mit "Obermenge aller Zahlen" die klassische, mathematische Menge meint, dann sind die reellen Zahlen die "Obermenge" der natürlichen, ganzen, rationalen, algebraischen, ... Zahlen.
Eine (hyper-)komplexe Zahl besteht informationstechnisch immer aus (mehr als)ZWEI reellen Zahlen (wem es für seine Rechnungen einen Vorteil bringt, auch aus natürlichen, ganzen, ...).Das heißt:
(4) ist Element aus R
(4, 0) ist Element aus C, aber nicht aus R, weil R keine Teilmenge von C ist.Klar ist vernünftigerweise (4, 0) gleich mit (4) (zumindestens, wenn ich praktisch denke), aber mengentechnisch vollkommen verschieden.
Mit den Operationen hat das jetzt noch nicht viel zu tun.
Ich geh mal davon aus, dass man mit Zahlen das meint, was man in der Grundschule gelernt hat.
Alles andere (wobei natürlich "Zahlen und deren Operationen" auch klassifizierbar sind) sind schöne allgemein gehaltene Theorie der algebraischen Strukturen.
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The Key schrieb:
(4, 0) ist Element aus C, aber nicht aus R, weil R keine Teilmenge von C ist.
Je nach Definition schon. Jedenfalls gibt es aber eine kanonische Einbettung.
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The Key schrieb:
Eine (hyper-)komplexe Zahl besteht informationstechnisch immer aus (mehr als)ZWEI reellen Zahlen (wem es für seine Rechnungen einen Vorteil bringt, auch aus natürlichen, ganzen, ...).
Dann könntest du auch argumentieren, dass eine rationale Zahl "informationstechnisch" aus zwei ganzen Zahlen besteht. Dass du die Grenze bei den reellen Zahlen ziehst läßt sich so nicht begründen.
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Für gewöhnlich betrachtet man die reellen Zahlen als Teilmenge der komplexen Zahlen, soviel kann man wohl sagen. Ohne Erbsen zählen zu wollen gilt durchaus
Wobei die Quaternionen schon kein Körper mehr sind und bei S die Struktur kaum noch vorhanden ist. Es ist halt die Frage, was man will.
"Die" Obermenge einer Menge gibt es ja ohnehin nicht.
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Was heißt denn "informationstechnisch"? R und R^2 (= C) sind gleichmächtig. Besitzen also die gleiche Anzahl an Elementen. Wie kann da ein Elemente der einen Menge mehr Information tragen als ein Element der anderen Menge?
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ist jetzt zwar etwas ot, aber gibt es eigentlich eine Menge die eine größere mächtigkeit als IR hat?
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Die Potenzmenge von IR.
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Ja, ganz allgemein gilt, |X| < |2^X|. Dabei ist X eine beliebige Menge und 2^X die Potenzmenge von X.
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Jester schrieb:
Was heißt denn "informationstechnisch"? R und R^2 (= C) sind gleichmächtig. Besitzen also die gleiche Anzahl an Elementen. Wie kann da ein Elemente der einen Menge mehr Information tragen als ein Element der anderen Menge?
Es gibt eine Bijektion von R nach R^2?
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Klar. Eine Konstruktion funktioniert folgendermaßen: entwickle die beiden reellen Zahlen in dezimaldarstellung. Nun baun wir uns eine neue zahl, für die wir die Dezimaldarstellung angeben: wir schreiben an die geraden stellen die dezimal-entwicklung von zahl1 und an die ungeraden stellen die dezimal-entwicklung von zahl2. Gegebenenfalls halt mit Nullen auffüllen.
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Jester schrieb:
Klar. Eine Konstruktion funktioniert folgendermaßen: entwickle die beiden reellen Zahlen in dezimaldarstellung. Nun baun wir uns eine neue zahl, für die wir die Dezimaldarstellung angeben: wir schreiben an die geraden stellen die dezimal-entwicklung von zahl1 und an die ungeraden stellen die dezimal-entwicklung von zahl2. Gegebenenfalls halt mit Nullen auffüllen.
Da muss man aber noch argumentieren wegen der nicht-eindeutigen Dezimaldarstellung.
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welche mächtigkeit haben surreale zahlen?
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Man kann auch viel Spaß mit dem komplexen Logarithmus und dem Tangens (um ein Intervall auf ganz |R zu schicken) haben. Beides ist mit entsprechenden Einschränkungen bijektiv.
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ask0r schrieb:
welche mächtigkeit haben surreale zahlen?
http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number#_ref-0 - also gar keine Mächtigkeit, weil sie keine Menge bilden!