Laurent-Reihe

Taurin

Gegeben ist die komplexe Funktion $f(z) = \frac{1}{z^2+25}$ mit den einfachen Polen z0 = 5i und z1 = -5i. Folgende zwei Aufgaben sind mir über den Weg gelaufen:
a) Man skizziere die Konvergenzgebiete der verschiedenen Laurent-Reihen um z0 = 5i
b) Man berechne die Laurent-Reihe um z0 = 50, die im Punkt z=0 konvergiert.

Machen diese Aufgaben überhaupt Sinn? Im Punkt 5i wird die Laurent-Reihe doch niemals konvergieren, oder hab ich da irgendwas Entscheidenes nicht verstanden?

Jester

Trotzdem kannst Du das Konvergenzgebiet der Laurententwicklung um z_0 = 5i angeben. Gib doch einfach die entwicklung mal an und mach dann die Konvergenzuntersuchung...
oder wisse einfach, dass es der punktierte kreis (also ohne mittelpunkt) um z_0 ist, der so groß ist, dass er gerade noch bei z_1 anstößt (allgemein bei der nächsten Singularität).

b) geht ähnlich. du kannst dir überlegen, ob du einfach in nem kreis um z0=50 entwickelst, das sollte auch passen. schließlich wächst die kreisscheibe bis sie an 5i bzw. -5i anstößt, das ist dein konvergenzbereich. der enthält die 0. würde er das nicht tun könntest du ja auch 5i und -5i noch in den bereich reintun wo's nicht konvergiert und in nem größeren kreisring entwickeln.

Taurin

Ah, danke! In a) schaut man sich einfach den Kreis um 5i an, der durch den den Pol -5i geht. Innerhalb und ausserhalb des Kreises sind die Konvergenzgebiete.

In b) habe ich einen Tippfehler gemacht. Es geht natürlich um die Laurent-Reihe um 5i. Da z=0 auf der Kreisscheibe |z-5i| < 10 liegt.
Partialbruchzerlegung:
$\frac{1}{z^2+25} = \frac{\frac{i}{10}}{z+5i} + \frac{-\frac{i}{10}}{z-5i}$
Nebenrechnung: $\frac{1}{z+5i} = \frac{1}{(z-5i)+10i} = \frac{1}{10i} \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{z-5i}{10i})} = \frac{1}{10i} \sum_{k=0}^{\infty}(-\frac{z-5i}{10i})^k$ $=\frac{1}{10i} \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{i}{10})^k(z-5i)^k$
Zusammen ergibt sich also:
$f(z) = -\frac{i}{10}(z-5i)^{-1} + \frac{1}{100}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{i}{10})^k(z-5i)^k$

Jester

Taurin schrieb:

Ah, danke! In a) schaut man sich einfach den Kreis um 5i an, der durch den den Pol -5i geht. Innerhalb und ausserhalb des Kreises sind die Konvergenzgebiete.

Ja so in etwa, dein Konvergenzgebiet ist jeweils ein Kreisring. Der innere kreis, wo's nicht konvergiert ist in der ersten variante nur der Punkt 5i. Der äußere Kreis ab dem es nicht mehr konvergiert ist alles, was weiter weg ist als -5i. Nur in dem Kreisring dazwischen konvergiert die entwicklung. Wolltest du außen auch konvergieren müßtest du das innere gebiet in dem es nicht konvergiert so groß machen, dass es auch -5i enthält. Das gibt die zweite mögliche Entwicklung und damit das zweite mögliche konvergenzgebiet.

b) sieht gut aus, hab's aber nicht nachgerechnet.

Taurin

Danke!