4. bestimmtes integral

bestimmtes integral

  • M

    Hallo!

    Grad bisschen klausurvorbereitung:

    ∫0,52dxxlnx\int_{0,5}^2\frac{dx}{x\ln x}

    Die Stammfunktion ist ja davon F(x)=ln(ln x)+C. Erstmal kein Ding. Aber jetzt das bestimmte Integral wäre ja dann

    ∫0,52dxxlnx=F(2)−F(0,5)\int_{0,5}^2\frac{dx}{x\ln x}=F(2)-F(0,5)
    Das blöde ist, dass F(0.5) im Reellen nicht definiert ist. Was ist denn da nun die Lösung von? Die Fumktion hat ja auch im integrationsbereich eine polstelle. Aber die AUfgabe ist echt nur, das bestimmte integral zu lösen.

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  • T

    Maxi schrieb:

    Die Fumktion hat ja auch im integrationsbereich eine polstelle.

    Nein.

    Deine Stammfunktion ist nicht ganz korrekt, denk noch mal nach 😉

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  • M

    Nein.

    Deine Stammfunktion ist nicht ganz korrekt, denk noch mal nach

    Doch, die urpsrungsfunktion hat eine polstelle im integrationsintervall. Und die Stammfunktiom müsst doch auch stimmen. JEdenfalls stimmt die Ableitung und maxima sagt das gleiche.

    Vielleicht ein ln|ln x| ? aber warum?

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  • T

    Maxi schrieb:

    Doch, die urpsrungsfunktion hat eine polstelle im integrationsintervall.

    Hast Recht. In dem Fall musst du sogar zwei uneigentliche Integrale bestimmen.

    JEdenfalls stimmt die Ableitung

    Aber nur für positive x. (als Argument für die innere Funktion)

    Vielleicht ein ln|ln x| ?

    Das ist richtig.

    aber warum?

    Weil die Stammfunktion für g'(x)/g(x) nun mal ln|g(x)| ist.

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  • B

    Ich hab grad mal versucht, das linke uneigentliche Integral zu bestimmen, ich komme auf limα→1lnlnαln12=−∞\lim_{\alpha\rightarrow 1} \ln{\frac{\ln{\alpha}}{\ln{\frac{1}{2}}}} = -\infty, kann das sein?

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  • M

    ist schon möglich. Also nach der REchnung ist ja ln(0)->-inf. Aber wenn dus dann von der anderen Seite rechnest, kommt wohl auch +inf raus. Das hebt sich vielleicht irgendwie auf? Denn man soll ja nicht die fläche ausrechnen, sondern nur das integral, muss also ncih auf die vorzeichen achten.

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  • B

    Das fällt dann aber nicht unter einen der Integralbegriffe, die ich kenne.

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  • X

    Nur so zur Info: Es gibt auch noch den Cauchyschen Hauptwert, evtl. existiert der ja hier.

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  • T

    Der würde existieren
    CH∫...=limϵ→0+(ln(1−ϵ)−ln12+ln2−ln(1+ϵ))CH\int...=\lim_{\epsilon\rightarrow 0+}(\ln(1-\epsilon)-\ln\frac{1}{2}+\ln2-\ln(1+\epsilon))
    =limϵ→0+(ln1−ϵ1+ϵ+ln2−ln12)=ln2−ln12=\lim_{\epsilon\rightarrow 0+}(\ln\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon}+\ln2-\ln\frac{1}{2})=\ln2-\ln\frac{1}{2}

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