Rauminhalt einer Pyramide halbieren

mcr

Hier findest du einen Zusammenhang zwischen der Grundfläche bzw. Schnittfläche,
wenn parallel zur Grundfläche geschnitten wird, und der Höhen der einzelnen
Teilpyramiden. Damit kannst du leicht, die entsprechende Höhe ausrechnen.

http://members.chello.at/lehrerhubsi/pyramideAllgemein.html

Gruß mcr

Programmierer

Kann es sein,dass die Höhe 1/3 der Grundfläche ist

kugge mal, das ist doch einfach,
das volumen der pyramide ist:

V = G*h/3

du möchtest aber nur das halbe volumen und eine
andere höhe, hier hx genannt.
also dividierst du die gleichung auf
beiden seiten durch 2:

V/2 = G*hx/6

und stellst nach hx um:

hx= V* 6/2 1/G
hx = 3V/G

Jester

Aber die Grundfläche ändert sich doch je nach der Höhe auf der man abschneidet...

peinlich, peinlich, das war nicht zu ende gedacht

gesucht h2, G2 unbekannt

V1 = G1h1/3
V2 = G2h2/3

V2 = V1/2 = G1*h1/6 = G2*h2/3

I.) h2 = 1/3 G1/G2 * h1 // G2 unbekannt

eine gleichung, zwei unbekannte -> eine zweite gleichung muss her.
annahme, pyramide symmetrisch:
h2/G2 = h1/G2

II.) G2 = G1*h2/h1

II.) in I.) eingesetz:

h2 = 1/3 * h1*G1*h1/(G1*h2) = 1/3*h1h1/h2
h2*h2 = 1/3 * h1h1

h2 = (1/3)^(-1/2)*h1
$h2 = \sqrt{1/3}*h1$

oje, das ist immer noch falsch

mcr

Michael E. hat die Lösung doch schon gepostet.

Nun noch mal zum Mitschreiben:

Gegeben: Eine Grundfläche G, eine Höhe h einer Pyramide P.
Gesucht: Eine neue Höhe h', so dass das Volumen V' der neuen Pyramide, 
         bestehend aus der neuen Höhe und der neuen Grundfläche G', nur halb
         so groß ist, wie die von P. Dabei ergibt sich die neue Grundfläche G'
         aus der Schnittfläche von P mit einer zur Grundfläche G parallelen
         Ebene, die von der Spitze S der Ursprungspyramide h' entfernt ist.

Die neue Grundfläche G' kann man mit Hilfe einer zentrischen Streckung im 
Punkt S mit Faktor x (der noch zu berechnen ist) bestimmen. 
Bei einer zentrischen Streckung gilt folgendes:

-- für die Flächeinhalte: [latex]G' = x^2 \cdot G[/latex]

-- für die Höhe:          [latex]h' = x \cdot h[/latex]

Daraus folgt dann:        [latex]G' = \frac{h'^2}{h^2} \cdot G[/latex]           [b](F1)[/b]

ok, nun zum Volumen: Sei V das Volumen von P.
Gesucht ist ja:           [latex]V' = \frac{1}{2} \cdot V[/latex] mit [latex]V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h[/latex]

Also muss gelten:         [latex]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot G' \cdot h'[/latex]

Durch Einsetzen von (F1) und Multiplizieren mit 3 erhält man: 
                          [latex]\frac{1}{2} \cdot G \cdot h = G \cdot \frac{h'^2}{h^2} \cdot h'[/latex]

Dies läßt sich dann umformen zu:
                          [latex]\frac{1}{2} \cdot h^3 = h'^3[/latex]

Also ergibt sich für die neue Höhe: [latex]h' = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \cdot h[/latex]

Und für die neue Grundfläche:       [latex]G' = \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot G[/latex]

So, ich hoffe mal, dass ich mich nicht vertan habe.

Gruß mcr

hello again!
ich musste es mir noch einmal geben,
jetzt weiss ich was ich bei meinem zweiten anlauf
falsch gemacht habe!
hatte grundseite mit grundfläche verwexelt.

V2 große, V1 kleine pyramide

V2 = 1/3*b*bh2
V1 = 1/3*a*ah1

V1 = V2/2

1/3*a*a*h1 = 1/6*b*b*h2

I.) h1 = 1/2 b*b/a*a * h2

a/h1 = b/h2

II.) b*b = h2*h2/h1*h1 * a*a

II.) in I.)

h1 = 1/( 2^(-1/3) ) * h2

hx = (!) = h2 - h1 = h2*(1- 1/( 2^(-1/3) ) )
hx = h * \sqrt[3]{\frac{1}{2}}

hx ≈ 0206*h

das halbe volumen ist also wenn man so will
in ca. 1/5 der höhe von der grundfläche aus aufwärts gemessen

!!! EDIT !!!

hx = h*(1- \sqrt[3]{\frac{1}{2}} )

hx [e]asymp[/e] 0,206*h

so muss es natürlich heissen