Invarianz in der Ebene
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Hallo,
Ich hätte da ein kleines Problem:
Gegeben sind 2 Punkte P(4|1) und Q(7|3) auf einem 2-dim. Koordinatensystem. Nun kann sich die Position eines Punktes ändern, indem er am anderen Punkt punktgespiegelt wird. Können P und Q irgendwann auf 2 beliebig gewählte Punkte M und N abgebildet werden?
Ich hätte die Invarianz von P und Q bestimmt und dann mit der Invarianz von M und N verglichen. Allerdings finde ich hierbei keine passende Invarianz...Danke im Voraus
Toddy
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Als Denkanstoss: Kann sich die Neigung der Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten jemals aendern?
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Stimmt...Jetzt möchte ich den Fall aber mal mit 1 zusätzlichen Punkt betrachten, z.b. R(1|1). Dementsprechend füge ich noch einen Zielpunkt hinzu. Wir würde es hier mit der Invarianz aussehen, oder allgemein für n Punkte?
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Wieso hilft mir denn keiner? Ist die Frage zu schwer?
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Mir ist die Frage nicht so ganz klar.
Sehe ich das richtig: Du hast eine Punktemenge S, mit P,Q,R in S. Und S ist unter der Operation "wähle zwei a,b Punkte in S, spiegle a an b" abgeschlossen, das heißt du kommst nicht aus der Menge raus, und S ist minimal mit dieser Eigenschaft. Und nun fragst Du Dich, ob 2 gegebene Tripel von Punkten die selbe Menge erzeugen?
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Ich denke dass das teilweise richtig ist.
Man hat eine Menge S von Punkten, in diesem Fall P,Q und R. Die Koordinaten dieser 3 Punkte lassen sich wie von dir richtig erkannt durch Punktspiegelung an einem der beiden übrigen Punkte ändern. Nun ist die Frage, ob diese 3 Punkte irgendwann auf 3 anderen gegebenen Punkten, z.B. Z1,Z2,Z3 "landen" können. Dafür hätte ich mir nämlich überlegt, die Invariante von S mit der Invariante des Zielpunktetripels zu vergleichen, jedoch ist mir noch keine aufgefallen.MFG Toddy
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Meine vorgeschlagene Invariante war eben die Menge aller erreichbaren Punkte zu bilden. Das tust Du indem Du das ganze unter der Operation "spiegeln" abschließt. Ist die Menge dieser Punkte für beide Tripel gleich, dann sind die Tripel aufeinander abbildbar, sonst nicht.
Was da rauskommt ist ein Gitter (engl. lattice). Die kann man darstellen als ein Basispunkt und zwei Vektoren, so dass Basispunkt + ganzzahlige Vielfache der beiden Vektoren genau das Gitter ist. Diese Darstellung kann man recht eindeutig machen, so dass Du im Prinzip nur diese beiden Darstellungen vergleichen mußt.
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Hallo,
deinen ersten Abschnitt habe ich ungefähr verstanden, jedoch weiß ich nicht wie man den 2. Ansatz praktisch umsetzen kann. Könntest du mir das vielleicht mal an diesem Beispiel erläutern? Das wär nett.
Gegeben sind 3 Punkte P(4|1), Q(7|3) und R(1|1). Diese sollen auf die 3 Punkte Z1(4|4),Z2(3|1) und Z3(2|7) abgebildet werden. Ist das möglich?
Schonmal Danke
Toddy