kern einer funktion

[Mathematikker]

Gegenbeispiel, zur Verdeutlichung habe ich bei f ein Tripel hingeschrieben anstelle von "x". Zur Erinnerung: zwischen der Koordinate $x\in \mathbb{R}$ bzw. der Variablen und dem Tripel $(x,0,0)\in \mathbb{R}^{3}$ gibt einen Isomorphismus.
$f: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}, (x,0,0) \mapsto 0$
$g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto y$
$h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto z$

[Dancke im Forraus]

Flasch

Dancke im Forraus

[Gast]

Der Kern einer Funktion ist ja eine Menge. Und ich kann ja, wenn die Funktion beliebig ist, diese Menge beliebig wählen.

d.h. da steht nichts anderes als

A \subseteq B \mbox{ und } A \subseteq C \Longrightarrow B \subseteq C \mbox{ oder } C \subseteq B für beliebige Mengen $A, B, C$

Und das ist offensichtlich Schwachsinn. Gegenbeispiel:
$A = \{\} = \emptyset$
$B = \{1, 2, 3\}$
$C = \{4, 5, 6\}$

Es gilt A \subseteq B \mbox{ und } A \subseteq C .
Aber weder
$B \subseteq C$
noch
$C \subseteq B$
gilt.

[Bashar]

ProgChild schrieb:

Der Kern einer Funktion ist ja eine Menge. Und ich kann ja, wenn die Funktion beliebig ist, diese Menge beliebig wählen.

Von was für Funktionen reden wir hier eigentlich? Gibts Kerne nicht nur bei Homomorphismen? Falls ja, ist das so ohne weiteres nicht klar, weil nicht jede beliebige Menge Kern eines Homomorphismus sein kann.

[Mathematikker]

$\phi : A \rightarrow B$
$Kern(\phi ):= \lbrace x \in A | \phi (x) = 0\rbrace$

[Gast]

Bashar schrieb:

Von was für Funktionen reden wir hier eigentlich? Gibts Kerne nicht nur bei Homomorphismen? Falls ja, ist das so ohne weiteres nicht klar, weil nicht jede beliebige Menge Kern eines Homomorphismus sein kann.

Das stimmt. Ist halt definitionssache, aber bei linearen Funtkionen gilt es trozdem nicht...

Man kann ja z.B. A={0}, und B und C als zwei unterschiedliche Gerade durch den Nullpunkt wählen... Das geht auf jeden Fall.

[Mathematikker]

Mathematikker schrieb:

Gegenbeispiel, zur Verdeutlichung habe ich bei f ein Tripel hingeschrieben anstelle von "x". Zur Erinnerung: zwischen der Koordinate $x\in \mathbb{R}$ bzw. der Variablen und dem Tripel $(x,0,0)\in \mathbb{R}^{3}$ gibt einen Isomorphismus.
$f: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}, (x,0,0) \mapsto 0$
$g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto y$
$h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto z$

$Kern(f) = \lbrace (x,0,0) | x \in \mathbb{R} \rbrace$
$Kern(g) = \lbrace (x,0,z) | x,z \in \mathbb{R} \rbrace$
$Kern(h) = \lbrace (x,y,0) | x,y \in \mathbb{R} \rbrace$
$\Rightarrow Kern(f) \subset Kern(g) \wedge Kern(f) \subset Kern(h)$
Dass die Folgerung durch die Implikation nicht stimmt lässt sich leicht durch Gegenbeispiele zeigen, z.B.:
$(0,0,5) \in Kern(g) \wedge (0,0,5) \notin Kern(h)$ und $(0,5,0) \in Kern(h) \wedge (0,5,0) \notin Kern(g)$

[Jester]

Mathematikker schrieb:

$\phi : A \rightarrow B$
$Kern(\phi ):= \lbrace x \in A | \phi (x) = 0\rbrace$

Was soll denn 0 sein? Fehlen da nicht wenigstens ein paar Voraussetzungen an A und B?

[Mathematikker]

Jester schrieb:

Mathematikker schrieb:

$\phi : A \rightarrow B$
$Kern(\phi ):= \lbrace x \in A | \phi (x) = 0\rbrace$

Was soll denn 0 sein? Fehlen da nicht wenigstens ein paar Voraussetzungen an A und B?

Dann müsste man sich auf eine Definition zuvor einigen, deswegen habe ich das weggelassen, aber A und B sind Mengen und 0 das neutrale Element bzgl. einer auf B definierten Verknüpfung.

[Mathematiker]

danke allen!

ist natürlich logisch. bin nur gerade bei einem etwas komplexeren beweis (coproduct konstruktion in algebraischen systemen), und da hatte ich mir gedacht, dass das vielleicht stimmt. hätte mir sehr geholfen