Problem mit Aufgabe

Hallo,

ich soll alle ganzzahligen n, x bestimmen, sodass x² + 7 = 2ⁿ ist.

Leider habe ich gar keinen Ansatz. Kann mir einer helfen?

Blue-Tiger

ich hab keine Loesung anzubieten, nur folgende Ueberlegungen:

offensichtlich gibt es keine n < 0, die diese Bedingung erfuellen. Weiters ist offensichtlich fuer alle x auch -x eine Loesung.

Jede Zweierpotenz mit geradem Exponenten ist auch eine Quadratzahl (2^(2n) = (2ⁿ⁾2). Der Abstand zwischen 2 Quadratzahlen wird immer groesser, sodass die Bedingung fuer gerade n schon sehr bald nicht mehr erfuellt werden kann.

Durch Nachrechnen bekommst du folgende Loesungen:
x = 1, n = 3
x = 3, n = 4
x = 5, n = 5
x = 11, n = 7

Ich glaub das sind die einzigen Loesungen, aber um das zu Zeigen musst du beweissen, dass

x^2 + 7 != 2^(2m-1)

fuer alle ganzahligen x >= 12 und alle m aus den natuerlichen Zahlen. k.A. ob dir das weiterhilft, ich dachte ich sags einfach mal. Aber es gibt wahrscheinlich wesentlich einfachere Loesungen zu der Aufgabe (um was fuer Themen gehts denn im Unterricht/der Vorlesung grad, wo die Aufgabe gestellt wurde?).

P.S. wenn du eine Loesung hast, poste sie bitte hier, es wuerd mich interessieren.

x = 181, n = 15 ist auch eine Lösung...

n	x
3	1
4	3
5	5
7	11
15	181
34	131072
36	262144
38	524288
40	1048576
42	2097152
44	4194304
46	8388608
48	16777216
50	33554432
52	67108864
54	134217728
56	268435456
58	536870912
59	759250125
60	1073741824
61	1518500250
62	2147483648
63	3037000500
64	4294967296
65	6074001000
66	8589934592
...     ...

Theston

Jaja, die Tücke der Gleitkommazahlen...

Theston schrieb:

Jaja, die Tücke der Gleitkommazahlen...

Christoph

:confused<strong></strong>: schrieb:

Theston schrieb:

Jaja, die Tücke der Gleitkommazahlen...

Zum Beispiel der Wert bei n=34 (und wahrscheinlich bei allen hoeheren n ebenfalls) ist falsch: 2^34 - 7 ist 17179869177, aber x^2 ist 131072^2, also 17179869184.
Fuer einfachere Vergleichbarkeit direkt untereinander:
17179869177 = 2^34 - 7
17179869184 = 131072^2