Problem mit Aufgabe

[Bashar]

Vermutlich sind alle Funktionen, die diese Eigenschaft mit Ausnahme der Nicht-Negativität haben, affine Funktionen. Das würde ich als erstes versuchen zu beweisen.

[ich@ausgeloggt]

Bashar schrieb:

Vermutlich sind alle Funktionen, die diese Eigenschaft mit Ausnahme der Nicht-Negativität haben, affine Funktionen. Das würde ich als erstes versuchen zu beweisen.

f(x,y) := x² - y²
passt auch.
Ich denke, es sind Polynome vom Grad 0..n, das ist aber geraten. Vielleicht hat die Lösung etwas damit zu tun, dass die gesamte Funktion durch einen (Z^(n-1) x 2) - dimensionalen Ausschnitt bestimmt ist?

[ich@ausgeloggt]

nein, das mit den polynomen ist glaub' ich doch quatsch.

[asmodis]

Versteh ich das richtig, dass diese Funktion die Gleichung
$2n \cdot f(x) = \sum_{i=1}^n (f(x+e\_i) + f(x-e\_i))$
für alle $x\in \mathbb{Z}^n$ erfüllen soll (wobei $(e\_i)\_{i=1}^n$ Standardbasis ist)?

[schwierig]

Richtig.

[XFame]

Ich verstehe nicht, wieso es solch eine Funktion ueberhaupt geben sollte. Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0. Wieso sollte da die Zielmenge die Menge der nicht negativen reellen Zahlen sein?

[schwierig]

XFame schrieb:

Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0.

Nein, wieso?

[zweifler&amp;zustimmer]

XFame schrieb:

Ich verstehe nicht, wieso es solch eine Funktion ueberhaupt geben sollte. Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0. Wieso sollte da die Zielmenge die Menge der nicht negativen reellen Zahlen sein?

das sehe ich aber auch so.

beispielsweise n = 1, x = -2:
f(-2) = 1/2*[(-1) + (-3)] = -2 < 0, wenn sie mittelwert der beiden nachbarn sein soll.

oder was sehen wir daran falsch?

[schwierig]

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

[zweifler&amp;zustimmer]

schwierig schrieb:

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

richtig, aber um die eigenschaft auf ganz Z zu erfüllen, muss die funktion negative werte annehmen -> widerspruch, eine solche funktion existiert nicht, oder?

[schwierig]

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

[Jester]

zweifler&zustimmer schrieb:

schwierig schrieb:

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

richtig, aber um die eigenschaft auf ganz Z zu erfüllen, muss die funktion negative werte annehmen -> widerspruch, eine solche funktion existiert nicht, oder?

Im Prinzip ist das genau die Argumentation: Angenommen die Funktion hat die Eigenschaften und ist nicht konstant. Dann hat sie irgendwo negative Funktionswerte. Widerspruch, also muß sie konstant sein.

Was jetzt fehlt ist ein genauer Beweis der Aussage "Dann hat sie irgendwo negative Funktionswerte". Dass es dem ein oder anderen leicht fällt für eine einzelne gegebene Funktion eine solche Stelle zu finden, zählt leider nicht als Beweis.

[schwierig]

Für n = 1 ist das Problem übrigens trivial...

[XFame]

Das ist genauso Quatsch wie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^3$.

schwierig schrieb:

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

Warum sollte der Mittelwert immer konstant sein, wie soll das gehen?

[schwierig]

XFame schrieb:

Das ist genauso Quatsch wie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^3$.

Was ist Quatsch?

XFame schrieb:

schwierig schrieb:

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

Warum sollte der Mittelwert immer konstant sein, wie soll das gehen?

f(x) = c. c = 1/(2n) * 2n*c

[Jester]

@XFame: Die Aufgabe ist kein Quatsch. Wenn Du Verständnisprobleme dabei hast, frag doch bitte konkret nach.

[XFame]

Was ist denn daran nicht zu verstehen? Ich nehme mir ein x aus |Z^n, meinetwegen x = (-2,...,-2), dann ist
f(x) = ((-1+(-3)) + (-1+(-3)) + ... + (-1+(-3)))/(2n) = n*(-1+(-3))/(2n) = -2. Wie kann da der Zielbereich der angegebene sein?

[Bashar]

Der Mittelwert der umgebenden Funktionswerte!

[XFame]

Dann nehme ich alles zurueck ;).

[asmodis]

Was ich bisher rausgekriegt habe:
Angenommen f ist nicht konstant, dann
1. f kann keine Nullstelle haben, da sonst die Nachbarwerte alle 0 sein müssen (da keine negativen werte) und induktiv müsste f dann konstant 0 sein.

2. es gibt ein x und zwei nachbarpunkte y, z, sodass f(y) < f(x) < f(z).
Damit muss es eine Folge von Punkten (x_n) geben, sodass f(x_n -> 0 und eine Folge (y_n), sodass f(y_n) -> ∞.

Bekomme es grad noch nicht hin das ganze zu einem widerspruch zu führen.