Problem mit Aufgabe

Bitte ein Bit schrieb:

Ahh

Wenn nun jede Funktion das arithmetische Mittel über 2n Werte berechnet,

Quatsch.

Bitte ein Bit schrieb:

alle Funktionen für die gleiche Eingabe das Gleiche berechnet.

Das macht jede Funktion.

Jester

@bitte ein bit:

In Z hat jeder Wert 2 Nachbarn. In Z^2 (einem Gitter) hat jeder Wert 2*2 = 4 Nachbarn. In Z^3 (einem 3d-Gitter) hat jeder Punkt 2*3 Nachbarn, nämlich in jeder Dimension 2. Das geht im n-dimensionalen genauso weiter.

Zu beweisen ist nun, dass eine Funktion, dere Funktionswert an jeder Stelle bereits durch die Funktionswerte in der Nachbarschaft festgelegt ist (nämlich als deren Mittelwert) mit den gemachten Einschränkungen (Abbildung geht in die nicht-negativen reellen Zahlen) konstant sein muß, das heißt an jeder Stelle den gleichen Funktionswert liefert.

Bitte ein Bit

Beispiel:

f(x1, x2) = ( (x1 - 1) + (x1 + 1) + (x2 - 1) + (x2 + 1) ) / 4

Ist diese Funktion ein Beispiel für die beschriebenen Funktionen ?

Wenn ja, würde ich diese Funktion verallgemeinern und evt. beweisen und danach versuchen zu zeigen dass alle Funktionen dieser Art eine Äquivalenzklasse bilden.

Wenn nein, bitte erzeuge mir mal doch eine Beispielfunktion der beschriebenen Art.

Jester

Bitte ein Bit schrieb:

Beispiel:

f(x1, x2) = ( (x1 - 1) + (x1 + 1) + (x2 - 1) + (x2 + 1) ) / 4

Ist diese Funktion ein Beispiel für die beschriebenen Funktionen ?

Wenn Du die Funktion etwas bequemer als f(x1,x2) = 1/2*(x1+x2) schreibst kannst du das leicht selber nachprüfen. Ja, sie hat die beschriebenen Eigenschaften, bis auf eine: sie bildet nicht in die nicht-negativen reellen Zahlen ab.

Eine Beispielfunktion, die wirklich alles geforderte erfüllt ist zum Beispiel f(x1,x2) = 5. Und zu zeigen ist genau, dass jede Funktion mit dieser Eigenschaft schon von dieser Form ist. Ich sehe nicht wo es einem weiterhelfen sollte das als Äquivalenzklasse zu formulieren. Es ist natürlich nicht falsch, aber helfen tut's halt auch nicht.

Bashar

Vermutlich sind alle Funktionen, die diese Eigenschaft mit Ausnahme der Nicht-Negativität haben, affine Funktionen. Das würde ich als erstes versuchen zu beweisen.

Bashar schrieb:

Vermutlich sind alle Funktionen, die diese Eigenschaft mit Ausnahme der Nicht-Negativität haben, affine Funktionen. Das würde ich als erstes versuchen zu beweisen.

f(x,y) := x² - y²
passt auch.
Ich denke, es sind Polynome vom Grad 0..n, das ist aber geraten. Vielleicht hat die Lösung etwas damit zu tun, dass die gesamte Funktion durch einen (Z^(n-1) x 2) - dimensionalen Ausschnitt bestimmt ist?

nein, das mit den polynomen ist glaub' ich doch quatsch.

asmodis

Versteh ich das richtig, dass diese Funktion die Gleichung
$2n \cdot f(x) = \sum_{i=1}^n (f(x+e\_i) + f(x-e\_i))$
für alle $x\in \mathbb{Z}^n$ erfüllen soll (wobei $(e\_i)\_{i=1}^n$ Standardbasis ist)?

Richtig.

XFame

Ich verstehe nicht, wieso es solch eine Funktion ueberhaupt geben sollte. Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0. Wieso sollte da die Zielmenge die Menge der nicht negativen reellen Zahlen sein?

XFame schrieb:

Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0.

Nein, wieso?

XFame schrieb:

Ich verstehe nicht, wieso es solch eine Funktion ueberhaupt geben sollte. Man findet doch zu jeder solcher Funktion sofort ein x aus |Z^n, meinetwegen (-2,...,-2), mit f(x)<0. Wieso sollte da die Zielmenge die Menge der nicht negativen reellen Zahlen sein?

das sehe ich aber auch so.

beispielsweise n = 1, x = -2:
f(-2) = 1/2*[(-1) + (-3)] = -2 < 0, wenn sie mittelwert der beiden nachbarn sein soll.

oder was sehen wir daran falsch?

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

schwierig schrieb:

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

richtig, aber um die eigenschaft auf ganz Z zu erfüllen, muss die funktion negative werte annehmen -> widerspruch, eine solche funktion existiert nicht, oder?

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

Jester

zweifler&zustimmer schrieb:

schwierig schrieb:

Es kann nach Voraussetzung keine negativen Werte geben.

richtig, aber um die eigenschaft auf ganz Z zu erfüllen, muss die funktion negative werte annehmen -> widerspruch, eine solche funktion existiert nicht, oder?

Im Prinzip ist das genau die Argumentation: Angenommen die Funktion hat die Eigenschaften und ist nicht konstant. Dann hat sie irgendwo negative Funktionswerte. Widerspruch, also muß sie konstant sein.

Was jetzt fehlt ist ein genauer Beweis der Aussage "Dann hat sie irgendwo negative Funktionswerte". Dass es dem ein oder anderen leicht fällt für eine einzelne gegebene Funktion eine solche Stelle zu finden, zählt leider nicht als Beweis.

Für n = 1 ist das Problem übrigens trivial...

XFame

Das ist genauso Quatsch wie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^3$ .

schwierig schrieb:

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

Warum sollte der Mittelwert immer konstant sein, wie soll das gehen?

XFame schrieb:

Das ist genauso Quatsch wie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^3$ .

Was ist Quatsch?

XFame schrieb:

schwierig schrieb:

Nein, eine konstante Funktion erfüllt die Bedingung auch.

Warum sollte der Mittelwert immer konstant sein, wie soll das gehen?

f(x) = c. c = 1/(2n) * 2n*c

Jester

@XFame: Die Aufgabe ist kein Quatsch. Wenn Du Verständnisprobleme dabei hast, frag doch bitte konkret nach.