4. Regel von Hospital

Regel von Hospital

  • B

    2. gilt

    0
  • P

    Bei L'Hospital geht es immer so rum, dass du aus der Existenz von

    limx→af′(x)g′(x)=L∈R∪{±∞}\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)} = L \in \mathbb{R} \cup \left\{\pm \infty \right\}

    die Existenz des eigentlichen Grenzwerts mit

    limx→af(x)g(x)=L\lim_{x \rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = L

    folgt.

    Die erste Aussage stimmt also nicht, denn wenn der Grenzwert der Ableitungen (unbestimmt!) divergiert, hat das keine Aussage über den Grenzwert der eigentlichen Funktionen zur Folge.

    Die zweite Aussage stimmt natürlich.

    Bei der dritten Aussage kommt es drauf an. Was bedeutet nicht f′(x)g′(x)⟶x→a±∞\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)} \longrightarrow_{x \rightarrow a} \pm \infty? Bedeutet das, der Grenzwert existiert, aber geht nicht gegen ±∞\pm \infty, oder kann der Grenzwert auch nicht existieren?

    Zur eigentlichen Frage: Wenn du weißt, dass der eigentliche Grenzwert existiert und du weißt, dass

    limx→af(x)g(x)=h(limx→af′(x)g′(x))\lim_{x \rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = h\left(\lim_{x \rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\right)

    gilt, dann muss damit ja auch der Grenzwert der Ableitungen existieren, sonst wäre die obige Gleichung ja unsinnig. Damit gilt dann wegen der Existenz des Grenzwertes der Ableitung

    limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)\lim_{x \rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \lim_{x \rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}

    Also kannst du die möglichen Kandidaten für den Grenzwert durch Lösen von

    x=h(x)x = h\left(x\right)

    bestimmen. Es kann dabei jedenfalls theoretisch aber mehrere Lösungen geben. Welche dann wirklich zutrifft, muss man dann irgendwie anders herausfinden.

    Ich überlege mal, ob ich ein Beispiel mit h(x)≠a⋅x+bh\left(x\right) \neq a \cdot x + b finde.

    Felix

    0
  • ?

    Ihr irrt euch, die 1. Behauptung stimmt (zumindest im Komplexen, im reellen schätze ich mal auch). Nachzulesen im Freitag/Busam

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  • P

    uneingeloggt schrieb:

    Ihr irrt euch, die 1. Behauptung stimmt (zumindest im Komplexen, im reellen schätze ich mal auch). Nachzulesen im Freitag/Busam

    Dann erklär mir mal das hier:
    Sei f(x):=sin(x)+2⋅xf\left(x\right) := \sin \left(x\right) + 2 \cdot x und g(x):=cos(x)+2⋅xg\left(x\right) := \cos \left(x\right) + 2 \cdot x. Für x→∞x \rightarrow \infty gilt g(x)→∞g\left(x\right) \rightarrow \infty und f(x)→∞f\left(x\right) \rightarrow \infty. Außerdem ist g′(x)=−sin(x)+2≠0∀x∈Rg'\left(x\right) = -sin\left(x\right) + 2 \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}, das heißt, man kann die Regel von L'Hospital (scheinbar) anwenden...

    Es ist aber f′(x)g′(x)=cos(x)+2−sin(x)+2\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=\frac{\cos \left(x\right) + 2}{-\sin \left(x\right) + 2} für x→∞x \rightarrow \infty unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt.

    Es ist aber
    limx→∞f(x)g(x)=limx→∞(1+sin(x)−cos(x)cos(x)+2⋅x)=1\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1 + \frac{\sin \left(x\right) - \cos \left(x\right)}{\cos \left(x\right) + 2 \cdot x}\right) = 1.

    Felix

    0
  • B

    Vielen Dank Phoemuex für die guten Erklärungen. 🙂

    3. war wirklich nicht eindeutig gestellt. Ich meinte, dass

    wenn lim f'(x)/g'(x) liegt nicht in R und ist auch nicht +inf oder -inf dann folgt, dass lim f(x)/g(x) auch nicht in R liegt und auch weder +inf noch -inf ist.

    Dein Beispiel hat die Frage aber bereits beantwortet.

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  • M

    Phoemuex schrieb:

    uneingeloggt schrieb:

    Ihr irrt euch, die 1. Behauptung stimmt (zumindest im Komplexen, im reellen schätze ich mal auch). Nachzulesen im Freitag/Busam

    Dann erklär mir mal das hier:
    Sei f(x):=sin(x)+2⋅xf\left(x\right) := \sin \left(x\right) + 2 \cdot x und g(x):=cos(x)+2⋅xg\left(x\right) := \cos \left(x\right) + 2 \cdot x. Für x→∞x \rightarrow \infty gilt g(x)→∞g\left(x\right) \rightarrow \infty und f(x)→∞f\left(x\right) \rightarrow \infty. Außerdem ist g′(x)=−sin(x)+2≠0∀x∈Rg'\left(x\right) = -sin\left(x\right) + 2 \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}, das heißt, man kann die Regel von L'Hospital (scheinbar) anwenden...

    Es ist aber f′(x)g′(x)=cos(x)+2−sin(x)+2\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=\frac{\cos \left(x\right) + 2}{-\sin \left(x\right) + 2} für x→∞x \rightarrow \infty unbestimmt divergent, da eine periodische Funktion vorliegt.

    Es ist aber
    limx→∞f(x)g(x)=limx→∞(1+sin(x)−cos(x)cos(x)+2⋅x)=1\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1 + \frac{\sin \left(x\right) - \cos \left(x\right)}{\cos \left(x\right) + 2 \cdot x}\right) = 1.

    Felix

    Die eigentliche Regel von L'Hospital gilt nur für Grenzwert vom Typ x->x0 und "0/0". Alles andere sind Variationen, die eventuell besonderer Prüfung bedürfen.

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  • B

    Mr.Fister schrieb:

    Die eigentliche Regel von L'Hospital gilt nur für Grenzwert vom Typ x->x0 und "0/0". Alles andere sind Variationen, die eventuell besonderer Prüfung bedürfen.

    Wie lautet denn die Regel so wie du sie kennst?

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  • M

    Ben04 schrieb:

    Mr.Fister schrieb:

    Die eigentliche Regel von L'Hospital gilt nur für Grenzwert vom Typ x->x0 und "0/0". Alles andere sind Variationen, die eventuell besonderer Prüfung bedürfen.

    Wie lautet denn die Regel so wie du sie kennst?

    Haben zwei diffbare reelle Funktionen f(x) und g(x) bei dem reellen Wert x0 jeweils eine Nullstelle, so gilt
    limx→x_0f(x)g(x)=lim_x→x0f′(x)g′(x)\lim_{x\to x\_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
    wobei der linke Grenzwert nicht existiert, wenn der rechte nicht existiert.

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  • ?

    Mr.Fister schrieb:

    wobei der linke Grenzwert nicht existiert, wenn der rechte nicht existiert.

    Falsch!

    0
  • M

    Mr.Fency Pants schrieb:

    Mr.Fister schrieb:

    wobei der linke Grenzwert nicht existiert, wenn der rechte nicht existiert.

    Falsch!

    Gegenbeispiel? Wir sollten die Aufgabe mal auf einem Übungszettel beweisen. Ok, war zugegeben im Komplexen, aber das sollte keinen Unterschied machen.

    0
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