Matrix diagonalisierbar?

Ich habe eine (Abb.-)Matrix A_a,b und muss schauen für welche a, b das ganze diagonalisierbar ist. Habe mir dann erstmal das char. Polynom berechnet (auch mit Maple geprüft, das stimmt) und es kam $(x^2+b^2)(a-x)^2$ heraus.

Was sagt mir das nun? Es muss ja auf jeden Fall erst einmal in Linearfaktoren zerfallen, darum passt mir das x² da drin gar nicht. Seh ich das richtig, dass es auf jeden Fall nur für b=0 diagonalisierbar sein kann und ich dann schauen muss für welche a noch $dim Bild(A_{a,0}-a\cdot E\_n) = Rang(A\_{a,0}-a\cdot E_n) = n - 2$ gilt?

Danke im voraus.

PS: Das kommt davon wenn man die ersten Semesterferien nix macht

Eine Matrix ist genau dann diag.bar, wenn die geometrische und algebraische Vielfachheit fuer jeden EW gleich sind.

Ueberlege erstmal, was die EW deiner Matrix sind (stehen schon fast da) und schaue dann nach, wie es um die Vielfachheiten steht. Dein x^2 stoert uebrigens ueberhaupt nicht.

Bashar

Taurin unterwegs schrieb:

Eine Matrix ist genau dann diag.bar, wenn die geometrische und algebraische Vielfachheit fuer jeden EW gleich sind.

... und $\chi_A$ in Linearfaktoren zerfällt. $x^2 + b^2$ tut das (über $\mathbb{R}$ ) nur für $b=0$ .

Warum beschraenkst du dich auf reelle Eigenwerte? Die Matrix hat dann eben zwei komplexe Eigenwerte (was dann zwei komplexen Eintraegen in der Diag.matrix entspricht).

Jester

Taurin unterwegs schrieb:

Warum beschraenkst du dich auf reelle Eigenwerte? Die Matrix hat dann eben zwei komplexe Eigenwerte (was dann zwei komplexen Eintraegen in der Diag.matrix entspricht).

Weil der Diagonalisierbarkeitsbegriff offensichtlich vom zugrundeliegenden Körper abhängt. Die Probleme des op mit dem term (x^2+b) geben zumindest einen hinweis darauf, dass der zugrundeliegende Körper R sein könnte und nicht C.