0,9 Periode kleiner gleich 1?
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Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass
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Optimizer schrieb:
Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass
Das bitte als Beweis.
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Mr. N schrieb:
Optimizer schrieb:
Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass
Das bitte als Beweis.
1 : 3 = 0,333333... - 10 9 -- 10 - 9 -- 10 - 9 -- 10 - 9 -- 10 - 9 -- 10 - 9 -- 10 - 9 -- 10 - 9 -- . . .weitere Ausführung spar ich mir ^^
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zwutz schrieb:
weitere Ausführung spar ich mir ^^
Ist das ein Beweis?
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Mr. N schrieb:
zwutz schrieb:
weitere Ausführung spar ich mir ^^
Ist das ein Beweis?
Ist das ne rhetorische Frage?
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Mr. N schrieb:
zwutz schrieb:
weitere Ausführung spar ich mir ^^
Ist das ein Beweis?
Wend halt Induktion drauf an, meine Güte.
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Theston schrieb:
Mr. N schrieb:
zwutz schrieb:
weitere Ausführung spar ich mir ^^
Ist das ein Beweis?
Wend halt Induktion drauf an, meine Güte.
Ja mach mal. *popcorn*
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Behauptung: n-te Nachkommastelle von 1/3 ist 3.
Anfang: 1. ist 3.
Annahme: Alle Nachkommastellen bis n sind 3.
Rückmultiplikation ergibt 1-3*0.3..3 (n Nachkommstellen). Rest also 0.0..1 / 3 (n Nachkommastellen) = 10^-n * 1/3.
n+1-te Nachkommstelle ist also (0+3) nach IA.edit: Man sollte noch einfügen, dass der Induktionsschritt alle vorherigen Nachkommastellen unangetastet lässt.
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Weiss nicht, ob es schon genannt wurde, oder, ob es überhaupt als Beweis gilt. Aber in der Schule haben wir das üblicherweise so gemacht:
I: 0,99... = x | * 10 II: 9,99... = 10x II - I: 9,99... - 0,99... = 10x - x 9 = 9x 1 = xGruß
Don06
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Theston schrieb:
Behauptung: n-te Nachkommastelle von 1/3 ist 3.
Anfang: 1. ist 3.
Annahme: Alle Nachkommastellen bis n sind 3.
Rückmultiplikation ergibt 1-3*0.3..3 (n Nachkommstellen). Rest also 0.0..1 / 3 (n Nachkommastellen) = 10^-n * 1/3.
n+1-te Nachkommstelle ist also (0+3) nach IA.edit: Man sollte noch einfügen, dass der Induktionsschritt alle vorherigen Nachkommastellen unangetastet lässt.
So wird doch ein Schuh draus.
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Was ich bei diesem Beweis über 9/9 aber auch generell für weitaus weniger trivial halte, ist die Behauptung 9*0,111..=0,999..
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Mr. N schrieb:
Theston schrieb:
Behauptung: n-te Nachkommastelle von 1/3 ist 3.
Anfang: 1. ist 3.
Annahme: Alle Nachkommastellen bis n sind 3.
Rückmultiplikation ergibt 1-3*0.3..3 (n Nachkommstellen). Rest also 0.0..1 / 3 (n Nachkommastellen) = 10^-n * 1/3.
n+1-te Nachkommstelle ist also (0+3) nach IA.edit: Man sollte noch einfügen, dass der Induktionsschritt alle vorherigen Nachkommastellen unangetastet lässt.
So wird doch ein Schuh draus.
Was ist jetzt genau das Problem? Ich finde den Beweis hier gerade auch komisch formuliert, aber es ist doch offensichtlich, dass sich das über Induktion beweisen lässt.
- 1. Nachkommastelle ist ne 3, Rest ist 1
- für Rest(n) 1 ergibt sich wieder Nachkommastelle(n+1) = 3 und Rest(n+1) = 1q.e.d. Ich spare mir jetzt die Formalismen, aber das Prinzip sollte einleuchten.
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Don06 schrieb:
Weiss nicht, ob es schon genannt wurde, oder, ob es überhaupt als Beweis gilt. Aber in der Schule haben wir das üblicherweise so gemacht:
I: 0,99... = x | * 10 II: 9,99... = 10x II - I: 9,99... - 0,99... = 10x - x 9 = 9x 1 = xGruß
Don06Ist das nicht der berühmte Blizzard-Beweis?
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Optimizer schrieb:
Mr. N schrieb:
Theston schrieb:
Behauptung: n-te Nachkommastelle von 1/3 ist 3.
Anfang: 1. ist 3.
Annahme: Alle Nachkommastellen bis n sind 3.
Rückmultiplikation ergibt 1-3*0.3..3 (n Nachkommstellen). Rest also 0.0..1 / 3 (n Nachkommastellen) = 10^-n * 1/3.
n+1-te Nachkommstelle ist also (0+3) nach IA.edit: Man sollte noch einfügen, dass der Induktionsschritt alle vorherigen Nachkommastellen unangetastet lässt.
So wird doch ein Schuh draus.
Was ist jetzt genau das Problem?
Es gibt kein Problem. Der Beweis ist gut. Wenn ich auch den Beweis mit der geometrischen Summe hübscher finde. :p
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Don06 schrieb:
Weiss nicht, ob es schon genannt wurde, oder, ob es überhaupt als Beweis gilt. Aber in der Schule haben wir das üblicherweise so gemacht:
I: 0,99... = x | * 10 II: 9,99... = 10x II - I: 9,99... - 0,99... = 10x - x 9 = 9x 1 = xWenn man sich auf einem Niveau bewegt, indem man 0,999...=1 in Frage stellt, wird man sich sicherlich nicht mit diesem Beweis zufrieden stellen können. Denn der Zweifel an der Behauptung impliziert, dass man sich so eine Zahl wie "ein unendlichstel" (siehe ursprünglichen Spon-Artikel) oder sowas wie die unendlichste Stelle einer Dezimaldarstellung vorstellen kann. Dann ist aber überhaupt nicht klar, dass 10mal 0,999... das gleiche ergibt wie 9,999..., denn 9,999... hat an der unendlichsten Stelle eine 9 mehr.
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Bashar schrieb:
Wenn man sich auf einem Niveau bewegt, indem man 0,999...=1 in Frage stellt
im ersten Moment ist das nicht intuitiv, und schon Albert Einstein hat ja gesagt, wie wichtig es ist, alles zu hinterfragen
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Heinzelotto schrieb:
Bashar schrieb:
Wenn man sich auf einem Niveau bewegt, indem man 0,999...=1 in Frage stellt
im ersten Moment ist das nicht intuitiv, und schon Albert Einstein hat ja gesagt, wie wichtig es ist, alles zu hinterfragen
Bashar ging es wohl eher darum, dass es ein sehr elementares Niveau ist, kein primitives.
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Ich meinte das nicht wertend. Vielleicht hätte ich Detailgrad sagen sollen. Natürlich sollte man alles hinterfragen.
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Ich glaube, das war gar nicht mal besonders abwertend gemeint. Aber man lernt nunmal mit der Zeit (spätestens Analysis I), dass die Dezimaldarstellung nicht eindeutig ist. Dann braucht man das nicht mehr hinterfragen, weil man's wahrscheinlich schon in ner Übung beweisen sollte
/edit: Sehr gut, Bashar. Hat so'n bisschen was von Scientology hier mit deiner Verteidigerzahl