Es gibt unendlich viele Primzahlen

[Theston]

Nein, ich spielte darauf an, dass der Begriff "weniger unendlich viel" sehr schwammig ist, da die Menge der Primzahlen gleichmächtig zur Menge der "Normalen Zahlen" ist

[Mathematikker]

ach schrieb:

Es gibt halt weniger unendlich viele Primzahlen als normale Zahlen.

Wie oben schon angedeutet wurde stimmt das nicht, denn ich (und andere natürlich auch) können dir ganz leicht eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der Primzahlen definieren.
Oben ist schon der Begriff gleich mächtig gefallen und zwei Mengen sind gleich mächtig, wenn du jedem Element aus der einen Menge eindeutig ein Element der anderen Menge zuordnen kannst.

Anschaulich wäre eine solche Abbildung in diesem Fall das durchnummerieren der Primzahlen, beginnend mit der 1.

Das würde für die ersten paar Primzahlen so aussehen:
1 <-> 2
2 <-> 3
3 <-> 5
4 <-> 7
5 <-> 11
6 <-> 13
7 <-> 17
8 <-> 19
9 <-> 23
usw.

Ist zwar schwer vorstellbar, da die Primzahlen ja auch auf der linken Seite (=Menge der natürlichen Zahlen) auftauchen, aber so ist das halt mit der Unendlichkeit die entzieht sich unserer Vorstellung.

Man nennt solche Mengen übrigens abzählbar (unendlich), da man systematisch die Elemente durchgehen könnte (man kann es natürlich nicht, da es unendlich viele gibt). Das Gegenstück dazu ist überabzählbar (unendlich), die reellen Zahlen (=Kommazahlen/Dezimalzahlen) sind das zum Beispiel, hier ist es nicht möglich eine Abzählvorschrift anzugeben bei der man keine Zahl "vergisst".
Das ist sogar so krass, dass du jeder reellen Zahl eindeutig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnen kannst. D.h. du kannst nicht nur jeder Zahl zwischen 0 und 1 eine Zahl zwischen 0 und 1 zuordnen sondern allen reellen Zahlen, du siehst also schon das übersteigt jegliches Vorstellungsvermögen, deswegen auch überabzählbar.

[prim1123]

1 ist nicht die kleinste primzahl
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
die primzahlen fangen bei 2 an

[maRKus23]

prim1123 schrieb:

1 ist nicht die kleinste primzahl
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
die primzahlen fangen bei 2 an

Hat ja auch niemand behauptet.

[Walli]

Theston schrieb:

Nein, ich spielte darauf an, dass der Begriff "weniger unendlich viel" sehr schwammig ist, da die Menge der Primzahlen gleichmächtig zur Menge der "Normalen Zahlen" ist

Ja, so habe ich das auch schon verstanden. Mich hatte das "wenn wir bloß IN betrachten" irritiert. Wo will man denn sonst Primzahlen finden? Du spieltest also scheinbar auf beides an .

[Mr. N]

Ist eigentlich -1 eine Primzahl? Wenn nicht, wieso nicht?

[per Definition]

einheiten sind nicht prim

[Mr. N]

per Definition schrieb:

einheiten sind nicht prim

Seit wann ist -1 eine Einheit?

"In der Mathematik versteht man unter einer Einheit in einem kommutativen unitären Ring (Ring mit 1) (R,+,\cdot,0,1) jeden Teiler von 1 (dem neutralen Element der Multiplikation)."

-1 ist nun wirklich kein neutrales Element der Multiplikation, und ich kenne auch kein neutrales Element auf Z mit Teiler -1.

[Jester]

-1 ist ein Teiler von 1, es gilt nämlich -1*-1 = 1. Auf Z sind auch genau {-1,1} die Einheiten.

Im Prinzip kann man Prim"zahlen" aber auf jedem Ring definieren: x ist prim, wenn aus a*b = x folgt: x teilt a oder x teilt b (eigentlich macht man's darüber, dass (x) ein Primideal ist, aber die formulierung hier ist elementarer). Dann ist in Z tatsächlich -2, -3, ... ebenfalls eine Primzahl.

[ach]

Vielleicht sollte hier noch mal einer die Bedeutung eines Smily beweisen.