Umkehrung dieser Funktionen
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Hallo!
Kann man jede beliebige Funktion umkehren wie z.b. f(x)=x/ln(x) oder f(x)=x/e^x?
Man könnte doch bei x/ln(x) z.b. einfach den definitionsbereich einschränken auf x>3, dann wäre die funktion streng monoton steigend und man könnte sie doch dann in dem intervall von 3 bis unendlich umkehren oder?
Geht das? wie würde denn die Umkehrfunktionen heißen?MFG
Hansi
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Natürlich nicht.
Die Umkehrfunktionen in einem geeigneten Sinne hier sind -y*LambertW(-1/y) und -LambertW(-y).
Kurz: Die Umkehrfunktion zu f bijektiv ist f^{-1}.
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Nicht jede Funktion ist umkehrbar.
Eine umkehrbare Funktion heißt injektiv. (Bijektiv ist stärker als injektiv)
Für stetige Funktionen gilt, dass strikte Monotonie und Bijektivität äquivalent sind.
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Ben04 schrieb:
Nicht jede Funktion ist umkehrbar.
Eine umkehrbare Funktion heißt injektiv. (Bijektiv ist stärker als injektiv)ich würde sagen bijektiv und umkehrbar ist das gleiche. eine injektive funktion kann man durch einschränkung auf einen geeigneten bildbereich auch umkehrbar bzw. bijektiv machen. wikipedia ist da übrigens meiner meinung: http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion
Für stetige Funktionen gilt, dass strikte Monotonie und Bijektivität äquivalent sind.
f:[0,1]-->[0,2], x |--> x.
strikt monoton, stetig aber nicht bijektiv.
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Jester schrieb:
Ben04 schrieb:
Nicht jede Funktion ist umkehrbar.
Eine umkehrbare Funktion heißt injektiv. (Bijektiv ist stärker als injektiv)ich würde sagen bijektiv und umkehrbar ist das gleiche. eine injektive funktion kann man durch einschränkung auf einen geeigneten bildbereich auch umkehrbar bzw. bijektiv machen. wikipedia ist da übrigens meiner meinung: http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion
Definitionssache, wenn du umkehrbar als man kann f rückgängig machen definierst dann geht es. (Formal für jedes x aus Definitionsmenge gilt: x = g(f(x)) wobei g die Umkehrfunktion ist) Mit der Wiki Definition hast du natürlich recht (und die ist auch verbreiteter).
Jester schrieb:
Für stetige Funktionen gilt, dass strikte Monotonie und Bijektivität äquivalent sind.
f:[0,1]-->[0,2], x |--> x.
strikt monoton, stetig aber nicht bijektiv.
Mein Fehler. Ich hatte den Satz falsch in Erinnerung. Strikte Monotonie und Injektivität sind äquivalent.
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Ben04 schrieb:
Mein Fehler. Ich hatte den Satz falsch in Erinnerung. Strikte Monotonie und Injektivität sind äquivalent.
Auch ohne Stetigkeit.
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Bashar schrieb:
Ben04 schrieb:
Mein Fehler. Ich hatte den Satz falsch in Erinnerung. Strikte Monotonie und Injektivität sind äquivalent.
Auch ohne Stetigkeit.
f:{1,2,3}->{1,2,3}
1->2
2->3
3->11<2 => f(1)<f(2)
1<3 => f(1)>f(3)
=> f nicht monotonf^-1:{1,2,3}->{1,2,3}
1->3
2->1
3->2f ο f^-1 = id = f^-1 ο f
=> Bijektiv => f umkehrbar=> Monotonie und Injektivität sind im Allgemeinen nicht äquivalent
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Ja richtig, ich war auf dem falschen Dampfer. Was ich meinte ist, dass aus strenger Monotonie Injektivität folgt. Natürlich gilt das umgekehrt nicht.