Integration komplexer Funktionen und Linienintegral über Vektorfeld

Hallo,

ich beschäftige mich zur Zeit mit der Integration komplexer Funktionen. Nun stellt sich mir die Frage ob ich alle Linienintegrale über Vektorfelder mit 2 Dimensionen auch als komplexe Funktion darstellen kann und diese auch einfach so mit der Integration komplexer Funktionen ausrechnen kann. Wenn ja, kann ich dann einfach die 1. Komponente des Vektors als Realteil und die 2. als Imaginärteil meiner komplexen Funtkion schreiben? Oder muss ich irgendwas beachten bzw. hab ich da was total falsch verstanden?

Jester

zunächst mal kannst du das schon machen. das integral einer komplexen funktion ist ja auch sozusagen komponentenweise definiert. allerdings wird dich das in den seltensten fällen weiterbringen.

integration von komplexen funktionen ist ja deswegen so gut handhabbar, weil man sich nur holomorphe bzw. fast überalle holomorphe funktionen anschaut.

ein beliebiges vektorfeld hat aber deutlich mehr freiheitsgrade. Beispielsweise genügt es den Realteil einer holomorphen Funktion zu kennen, dann ist auch Imaginärteil eindeutig. Bei einem allgemeinen Vektorfeld hast du da aber noch alle Freiheitsgrade.

Ok, erst mal danke für die Antwort.
Hab das ganze jetzt mal am Beispiel f(z)=z^2 bzw F(x,y)=[x^2-y2 ; 2xy]
über den Weg einer Geraden von (0,0) nach (1,1) versucht.
Bei der Integration mit der komplexen Funktion bekomme ich i*2/3 - 1 heraus und beim Linienintegral 2/3, also etwas anderes. Aber eigentlich müsste doch das selbe herauskommen, z^2 ist doch holomorph oder nicht?

.filmor

z^2 ist holomorph und frei von Singularitäten. Es sollte also auch egal sein, über welchen Weg du integrierst (falls ich das alles richtig verstanden habe, den Kram machen wir gerade ;)). Aber diese Erkenntnis erhältst du auch schon daraus, dass das Feld wirbelfrei ist.

Jester

woja schrieb:

Ok, erst mal danke für die Antwort.
Hab das ganze jetzt mal am Beispiel f(z)=z^2 bzw F(x,y)=[x^2-y2 ; 2xy]
über den Weg einer Geraden von (0,0) nach (1,1) versucht.
Bei der Integration mit der komplexen Funktion bekomme ich i*2/3 - 1 heraus und beim Linienintegral 2/3, also etwas anderes. Aber eigentlich müsste doch das selbe herauskommen, z^2 ist doch holomorph oder nicht?

kannst du kurz noch deine rechenwege noch mit dazuschreiben? dann können wir leichter nachvollziehen was da passiert.

Ok, mein Rechenweg (jetzt nur von der Integration der komplexen Funktion)

$f(z)=z^2$

mit
$z = x+iy$

folgt:
$f(z) = f(x,y) = (x+iy)^2 = x^2-y^2+i2xy$

Integrationsweg:
$c(t)=t+it$

Ableitung:
$\frac{d s}{d t}=1+i$

nach Einsetzen von x=t und y=t erhalte ich dann:
$\int_0^1 (t^2-t^2+i2t^2)*(1+i) d t$
$=\int_0^1 (i2t^2-2t^2) d t$
=[i\frac{2}{3}t^3-\frac{2}{3}t^3]

Da die Integrationsgrenzen eingesetzt gibt i*2/3-2/3.
Wo liegt mein Fehler?

Achja, wie kann ich bei Latex einen Zeilenumbruch machen ohne dass ich jedesmal die Latex-Tags neu anfangen muss so wie ichs jetzt hier gemacht habe?

Jester

Das gleiche Ergebnis kriege ich auch: f(z) = z^2 ist holomorph mit Stammfunktion F(z) = 1/3 z^3. Daher gilt (unabhängig vom Integrationsweg): das integral ist F(1+i) - F(0) = F(1+i) = (1+i)^3 = 2/3 i - 2/3.

Wie sieht das andere integral aus?

Ok

$F(x,y)= \left( \begin{array}{c} x^2 -y^2 \\ 2xy \end{array} \right)$

$s(t)= \left( \begin{array}{c} t \\ t \end{array} \right)$

$\frac{ds}{dt}= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$

mit x=y=t

F(t)= \left( \begin{array}{c} t^2-t^2 \\ 2\*t\*t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2t^2 \end{array} \right) \int_0^1F(t)\frac{ds}{dt}dt= \int_0^1 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2t^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) dt= \int_0^1 2t^2dt= [2/3t^3]

Wieder die Grenzen eingesetzt komme ich auf 2/3.
Das ganze muss ich doch mit dem Betrag der komplexen Integration vergleichen oder sehe ich da was falsch?

Daniel E.

woja schrieb:

Wieder die Grenzen eingesetzt komme ich auf 2/3.
Das ganze muss ich doch mit dem Betrag der komplexen Integration vergleichen oder sehe ich da was falsch?

Ja, das siehst Du falsch. Was Du bei der komplexen Integration direkt erschlägst, sind *zwei* Integrationen.

Bei Integrationen über R^2-Vektorfeldern entlang einer Kurve, sind normalerweise zwei Größen interessant, nämlich die Summe der Tangentialkomponenten und die Summe der Normalkomponenten (hin und wieder als Zirkulations- und Flußintegrale bekannt).

Wenn Du eine komplexe Funktion

f(z)=u(z)+j v(z) hast und die entlang von C=x+j y integrierst, dann ist
(1) Re(Int_C f(z)) = Int_C (u dx - v dy)
(2) Im(Int_C f(z)) = Int_C (u dx + v dy)

Wenn man sich jetzt das Vektorfeld q=(u ; -v) ansieht, und dafür die beiden Integrationen auswertest, dann stellst Du fest, daß (1) die Zirkulation von q entlang von C ist und (2) der Fluß. Wenn Du das Minus da nicht drinhaben willst, dann halt andersrum, und genau das hast Du gemacht: Du hast das Minus vor v weggelassen und damit sozusagen das Flußintegral ausgerechnet.

Ah ok, da lag mein Fehler.
Vielen Dank, jetzt hab ichs verstanden!