Beweisproblem Banachraum

Folgende Aufgabe:

X ist ein normierter VR,
Y ist ein Banachraum

C_b(X,Y) = { ƒ: X→Y : ƒ stetig und ||ƒ||_[e]infin[/e] = sup || ƒ(x) ||_Y < ∞ }

So VR is ja eh klar, dass das ganze eine Norm ist konnt ich auch runterschreiben. Nur die Vollständigkeit will bei mir irgendwie nie, das bekomm ich nie hin. Mein Ansatz ist in etwa so:

Sei (ƒ_n)_n>=0 eine Cauchyfolge bzgl ||°||
Für alle ε>0 existiert ein N_{[e]epsilon[/e]} so dass für alle n,m>N_{[e]epsilon[/e]} gilt: ||ƒ_n-ƒ_m||_[e]infin[/e] < ε

Ok und was mach ich dann? Ich weiß noch nicht mal WAS genau ich damit zeigen muss. Klar die CF muss gegen irgendwas konvergieren was wieder in C_b(X,Y) liegt, aber wie zeigt man das?

Bitte nur eine Idee, von einem fertigen Beweis hab ich nix und ihr arbeite beim tippen

MamboKurt

Offensichtlich konvergiert deine Funktionenfolge gegen irgendeine Funktion f:X->Y, da Y Banachraum ist. (Konvergenz in jeder Koordinate und so...)
Man muss nun zeigen, dass das Ding dann noch stetig (in jedem a) ist:

Idee: Benutze Konvergenz der Folge, Stetigkeit der Folgenglieder und die Dreiecksungleichung.

[Beweis]
Für jedes ε>0 existiert N mit ||f_N(x)-f(x)|| < ε/3, da die Folge konvergiert.

Da f_N stetig ist, gibt es ein δ>0 mit ||f_N(x)-f_N(a)|| < ε/3 für alle x mit ||x-a||<δ.

Also gilt für alle x mit ||x-a||<δ:
||f(x)-f(a)|| <= ||f_N(x)-f(x)|| + ||f_N(x)-f_N(a)|| + ||f_N(a)-f(a)|| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε
[\Beweis]

Danke für die Antwort!

Dieses dumme Einfügen in die Dreiecksungleichung das kapier ich zwar, komme da aber selber nie drauf, was ich einfügen kann um das hinzubekommen

Offensichtlich konvergiert deine Funktionenfolge gegen irgendeine Funktion f:X->Y, da Y Banachraum ist. (Konvergenz in jeder Koordinate und so...)

Also:
f_n:X->Y stetig
=> Für alle x aus X: f_n(x) → f(x) (n→∞) (da Y Banachraum)
=> f_n → f (n→∞)

Um das mal nachzuvollziehen. Ich versuch in letzter Zeit auch die Sachen die mir "selbstverständlich" erscheinen nochmal logisch zu folgern, weil ich sonst dazu neige zu viel (und auch falsche Sachen) einfach hinzuschreiben.

MamboKurt

Die Konvergenz gegen eine Funktion folgt nicht daraus, dass die f_n stetig sind, sondern nur daraus, dass Y ein Banahcraum ist.
f_n(x) ist eine Folge in Y. ||f_n(x) -f_m(x)|| <= ||f_n - f_m||∞ < ε für alle ε und n, m groß genug, da f_n eine Cauchy-Folge vzgl ||.||∞ ist.
Also konvergiert f_n(x) für jedes x in X und damit auch auch dein ganzes f_n.

Die Stetigkeit benutzt du nur bei der Dreiecksungleichung, um zu zeigen, dass f stetig ist.