komische folge mit Betrag

Es sei
h(n) = ln(n!)/(n*ln(n))

Es gilt
h(n)->1 wenn n->+∞
das Problem ist, dass ich das nur per CAS herausgefunden habe. Wie berechnet man das per Hand?

Alternativ würde auch ein Beweis einer von folgenden Aussagen in meinem Fall ausreichen: (alle Behauptungen scheinen zu stimmen)
[]h ist streng monoton wachsend
[]h ist nach unten mit einer Zahl aus ]0,1/2] beschränkt. Es scheint für alle aus dem Intervall zu gelten, eine reicht mir aber. 1/2 ist scheinbar min h. 0 ist leider zu klein.
[/list]

Wo ist der im Topic erwähnte Betrag, fehlt da nicht was?

Mr.Fister

Stichwort Stirlingformel. Herleitung steht bei Eric Weisstein.

Wo ist der Betrag? schrieb:

Wo ist der im Topic erwähnte Betrag, fehlt da nicht was?

Upps, das ist ein Tippfehler. In der Eile wollte ich Faktoriell schreiben und da hab ich wohl zum falschen Begriff gegriffen. O_o Zu viel Mathe ist definitiv nicht gesund...

Maxi

hab ich was übersehen, oder kann man nicht einfach die logarithmengesetze anwenden:

n*ln(n) = ln(n^n) und es gilt weiterhin n^n > n!, also sollte die Folge doch eigentlich gegen 0 gehen...

hm, kA

Mehlvogel

Ja, nämlich das $n * \ln(n) \approx \ln(n!)$ für sehr große n gilt -- die oben schon erwähnte Stirlingformel.

Theston

Maxi schrieb:

n*ln(n) = ln(n^n) und es gilt weiterhin n^n > n!, also sollte die Folge doch eigentlich gegen 0 gehen...

Bloß weil f(x)<g(x) gilt doch nicht gleich, dass f/g gegen 0 geht

Maxi

Theston schrieb:

Maxi schrieb:

n*ln(n) = ln(n^n) und es gilt weiterhin n^n > n!, also sollte die Folge doch eigentlich gegen 0 gehen...

Bloß weil f(x)<g(x) gilt doch nicht gleich, dass f/g gegen 0 geht

naja, n^n wird schneller groß als n!, sprich für unendlich sollte es gegen 0 gehn. Aber ich hab die Rechnung wohl ohne den ln gemacht in der Beschreibung zur Stirling-Formel stehts ja.

Naja stirlingformel ist schon etwas overkill. Das ganze geht auch recht elementar.

1. log(n!)/log(n^n)<=log(nn)/log(n^n) -> 1 für n-> oo
2. zeige (n/3)^n<= n! n > 6 per vollständiger induktion
3. log(n!)/log(n^n) >=(hier 2. benutzen) log(n/3)/log(n) = 1-log(3)/log(n) -> 1 für n -> oo
mit 1., 3. folgt nach dem quetsch / sandwitschlemma die behauptung.

gruss unreg

Mehlvogel

Ja stimmt, das ist natürlich viel einfacher...

Mehlvogel schrieb:

Ja stimmt, das ist natürlich viel einfacher...

Wahrscheinlich kannte der Threadersteller die Stirling-Formel vorher noch gar nicht und kann sie somit also auch nicht bei seiner Aufgabe verwenden, also ist dieser Beweis nicht nur einfacher sondern auch die einzig sinnvolle Lösung der bisher genannten (für ihn).

zeige (n/3)^n<= n! n > 6 per vollständiger induktion

wie zeigt man das per voll. Induktion?

Musst du das überhaupt beweisen? Du brauchst die Aussage doch gar nicht für $n\ge 6$ , du betrachtest ja eh $n\rightarrow \infty$ und für große n macht man sich die Gültigkeit der Ungleichung ja leicht klar bzw. es ist offensichtlich.

Ben04

Mathematikker schrieb:

Musst du das überhaupt beweisen? Du brauchst die Aussage doch gar nicht für $n\ge 6$ , du betrachtest ja eh $n\rightarrow \infty$ und für große n macht man sich die Gültigkeit der Ungleichung ja leicht klar bzw. es ist offensichtlich.

Naja geht wohl eher nicht durch da es ja dies zu zeigen gilt...

Ben04 schrieb:

Mathematikker schrieb:

Musst du das überhaupt beweisen? Du brauchst die Aussage doch gar nicht für $n\ge 6$ , du betrachtest ja eh $n\rightarrow \infty$ und für große n macht man sich die Gültigkeit der Ungleichung ja leicht klar bzw. es ist offensichtlich.

Naja geht wohl eher nicht durch da es ja dies zu zeigen gilt...

Du sollst doch zeigen, dass log n! ≈ n log n gilt, und den Eintscheidenden Schritt hat dir "unreg" ja bereits gesagt: Anwendung des Sandwich/Quetsch-Prinzips. Die Gültigkeit von $n! \ge (n/3)^{n}$ ist bei $n\rightarrow\infty$ ja offensichtlich, muss also gar nicht unbedingt gezeigt werden (wobei man natürlich am Rande erwähnen kann, dass es bereits für [latex]n\ge 6/latex] gilt, ist aber uninterressant für die eigentliche Behauptung).

Aber wenn du sagst, dass deine Korrektoren so streng sind hilft da wohl alles argumentieren nichts.