Grenzwert einer Funktion f:R^2->R

Bashar

Daniel E. schrieb:

darum macht die Norm theoretisch schon nen Unterschied.

Dann aber auch wieder nicht (auf $\mathbb{R}^n$ zumindest.) Wenn du zu einem Punkt eine Umgebung bezüglich einer Norm hast, enthält diese auch eine Umgebung bezüglich der Maximumnorm. Umgekehrt gilt das auch, die Konvergenz bezüglich einer Norm impliziert also die Konvergenz bezüglich jeder anderen Norm.

Wenn man die Funktion für x=0 oder y=0 betrachtet, sieht man, dass der Grenzwert, wenn er existiert, auf jeden Fall 0 sein muss. Das wäre jedenfalls erstmal mein Ansatz.

Bashar schrieb:

Wenn man die Funktion für x=0 oder y=0 betrachtet, sieht man, dass der Grenzwert, wenn er existiert, auf jeden Fall 0 sein muss. Das wäre jedenfalls erstmal mein Ansatz.

Weil für x=0 und y≠0 (und umgekehrt) der Grenzwert 0 ist?

Das mit den Normen hab ich mir auch so gedacht. Es hat mich irgendwie gewundert, dass in der Aufgabe extra angegeben ist, dass R² mit der 2-Norm betrachtet wird.

Polarkoordinaten hatten wir noch nicht Ich versuch mal zu zeigen oder zu wiederlegen, dass das Ding gegen 0 geht.

Kleine Nebenfrage:

|\^/|     Maple 11 (IBM INTEL NT)
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 \  MAPLE  /  All rights reserved. Maple is a trademark of
 <____ ____>  Waterloo Maple Inc.
      |       Type ? for help.
> limit(tan(x*y)/sqrt(x**2+y**2),x=0);
                                       0

> limit(tan(x*y)/sqrt(x**2+y**2),{x=0,y=0});
                              tan(x y)
                      limit(------------, {x = 0, y = 0})
                              2    2 1/2
                            (x  + y )

Warum kommt da nix raus?

Theston

(Vermutung:) Der Grenzwert scheint nicht eindeutig zu sein, sondern hängt von der entsprechenden Kurve ab, anhand derer man nach (0,0) absteigt. Wie Bashar schon sagte, geht man entlang der Achsen, ist der Grenzwert 0.

Hm ich finde aber keine Folge (x_n,y_n)->(0,0) mit lim_n->oo f(x_n,y_n) ≠ 0

Wo bekomm ich die her?

Habe die seltsame Vermutung das Ding konvergiert gegen 0, denn in gnuplot sieht das alles hübsch aus:
http://img513.imageshack.us/img513/2728/fxycc3.png

Mr.Fister

Tut es auch. Zunächst ein paar Abschätzungen (in Polarkoordinaten wäre es einfacher):
$0\leq(1-a)^2 \Leftrightarrow 2a \leq 1+a^2$
Also gilt für alle reellen a: $a \leq 1+a^2$ .
Sei nun (x_n,y_n) eine Folge mit Grenzwert (0,0), wobei alle Folgenglieder von (0,0) verschieden sind, oBdA seien auch alle x_n von 0 verschieden. Dann gilt $xy \leq x^2+y^2 \Leftrightarrow y/x \leq 1 + y^2/x^2$ , was wahr ist, wie oben nachgerechnet wurde.

Also ist $\left|\frac{tan(x\_n y\_n)}{\sqrt{x\_n^2+y\_n^2}}\right| \leq\frac{tan(x\_n^2+y\_n^2)}{\sqrt{x\_n^2+y\_n^2}}$ , da der Tangens streng monoton steigend ist. Entwicklung des Zählers um 0 in erster Ordnung ergibt $\sqrt{x\_n^2+y\_n^2}$ , was gegen 0 geht.

Ok Danke für die Arbeit! Man jede Woche gibts so eine doofe letzte Teilaufgabe die ich nicht hinbekomm -.-

Mr.Fister schrieb:

Tut es auch. Zunächst ein paar Abschätzungen (in Polarkoordinaten wäre es einfacher):
$0\leq(1-a)^2 \Leftrightarrow 2a \leq 1+a^2$
Also gilt für alle reellen a: $a \leq 1+a^2$ .
Sei nun (x_n,y_n) eine Folge mit Grenzwert (0,0), wobei alle Folgenglieder von (0,0) verschieden sind, oBdA seien auch alle x_n von 0 verschieden. Dann gilt $xy \leq x^2+y^2 \Leftrightarrow y/x \leq 1 + y^2/x^2$ , was wahr ist, wie oben nachgerechnet wurde.

Also ist $\left|\frac{tan(x\_n y\_n)}{\sqrt{x\_n^2+y\_n^2}}\right| \leq\frac{tan(x\_n^2+y\_n^2)}{\sqrt{x\_n^2+y\_n^2}}$ , da der Tangens streng monoton steigend ist.

Klar soweit.

Mr.Fister schrieb:

Entwicklung des Zählers um 0 in erster Ordnung ergibt $\sqrt{x\_n^2+y\_n^2}$ , was gegen 0 geht.

Das versteh ich nicht was da passiert. Aber was mir einleuchten würde:

Da laut Aufgabe eben nur die Grenzwerte in der offenen Einheitskugel betrachtet werden, kann ich weiter abschätzen:
$\frac{tan(x\_n^2+y\_n^2)}{\sqrt{x\_n^2+y\_n^2}} \leq \frac{tan(2)}{\sqrt{x\_n^2+y\_n^2}} \rightarrow 0$

Ist das ok? Würde mich aber trotzdem intressieren wie du das gemacht hast.

Gruß

edit: War bullshit was red ich denn da, hab irgendwie nicht nachgedacht

Ok habs nun wirklich. War zu viel heute nur an diesen Aufgaben rumgemacht, da sieht man den Grenzwert vor lauter Mist gar nicht mehr.

Danke für die Hilfe.

Mr.Fister

Ja, das geht natürlich nicht, da der rechte Ausdruck divergiert. Die Taylorreihe ist offenbar nicht bekannt?

Letztendlich musst du ja einen Ausdruck der Form tan(z^2)/z berechnen. Die Reihenentwicklung vom Tangens ist
$\tan x = x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+...$

Da x gegen 0 geht kann man höhere Terme vernachlässigen und man bekommt $\tan x \approx x$ für kleine x, genauso wie $\sin x \approx x$ und $\cos x \approx 1$ . Also ist tan(z^2)/z ungefähr gleich z^2/z, also gleich z.

Aber irgendwie muss der Tangens ja definiert sein, wenn nicht über die Reihe dann über Sinus und Cosinus, und die sind ja in der Analysis meist über die entsprechende Reihe definiert.

Doch die Taylorreihe ist mir bekannt, habe verstanden was du gemeint hast, dankeschön! Mein Problem in der Analysis ist es immer alles im Zusammenhang zu sehen.
Habs nun aber trotzdem so gemacht:

Betrachte ich den Grenzwert (mit l'Hospital, overset will hier in Latex irgendwie nicht...):
$\lim \limits_{t \to 0}\frac{tan(t)}{\sqrt{t}} = \lim \limits_{t \to 0}\frac{1+tan(t)^2}{\frac{1}{2 \cdot \sqrt{t}}} = \lim \limits_{t \to 0} 2\cdot\sqrt{t}\cdot (1+tan(t)^2) = 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0$

Somit natürlich auch für jede Folge $(a\_n)\_n$ mit $a_n\to0$ : $\lim \limits_{n \to \infty}\frac{tan(a\_n)}{\sqrt{a\_n}} = 0$

Da $x\_n^2 + y\_n^2 \to 0 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} x\_n \\ y\_n \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)$
folgt die Beh.

Grenzwert einer Funktion f:R^2-&gt;R

Grenzwert einer Funktion f:R^2->R