Determinante einer unendlich-dimensionalen Matrix?
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Hallo!
Wie kann man die Determinante einer unendlich-dimensionalen Matrix (z.B. amn = α δm,n-1 - β δm,n) berechnen?
Danke im Voraus.
MfG
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Hallo,
durch Entwickeln und vollständige Induktion.
ChrisM
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ChrisM schrieb:
durch Entwickeln und vollständige Induktion.
vollständige Induktion sagt Dir etwas über beliebig große Matrizen, nicht über unendlich große.
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Hallo,
naja, meine Basisidee war eigentlich, dass man beim iterativen Entwickeln (man entwickelt immer eine Spalte/Zeile weg) merkt, dass bei gegegebener Vorschrift für die Matrixelemente, die entstehende Determinante gegen irgendeinen Wert konvergiert. Ist das nicht praktikabel so?
Chris
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Ich bin mir nicht wirklich sicher, aber ich glaube du müsstest dafür zeigen, dass det_n (also die Determinante im n-Dimensionalen) gleichmäßig gegen det (die Determinante im Unendlichdimensionalen) konvergiert (wie auch immer der Dimensionssprung da bewerkstelligt wird, wahrscheinlich indem det_n nur auf die nxn-Teilmatrix links oben wirkt oder so).
Aber mir ist keine Definition der Determinante bekannt, die nicht einen endlichdimensionalen Vektorraum voraussetzt.
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Ich muss den anderen Recht geben. Es scheint darauf hinauszulaufen dass man eine Iterationsvorschrift für die Determinate im n-Dimensionalen finden soll und daraus dann die Konvergenz im Unendlichen bestimmt.
Als einen ersten Ansatz würde ich deswegen versuchen die ersten Schritte einer Zerlegung der Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu machen und mir die Werte für a(i,i) anzuschauen. Daraus könnte man eine Iterationsvorschrift für die Berechnung von a(i+1, i+1) (bzw. der Determinate im n-Dimensionalen) ableiten und mittels vollständiger Induktion beweisen (was sicherlich nicht einfach ist). Und wenn man diese Vorschrift hätte, könnte man einfach den Übergang ins Unendliche machen.
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diagonalisieren? dann musst auch zeigen, dass das korrekt ist...
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Die Determinante einer "unendlichdimensionalen Matrix" zu bilden macht keinen Sinn.
Das Skalieren einer solchen Matrix fuehrt sofort dazu, dass die Determinante der skalierten Matrix 0 oder unendlich ist.
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pasti schrieb:
Das Skalieren einer solchen Matrix fuehrt sofort dazu, dass die Determinante der skalierten Matrix 0 oder unendlich ist.
Nein.