inverse quadratwurzel einer matrix

hallo, ich muss die inverse quadratwurzel einer matrix bestimmen,
nach ein wenig wikipedia lesen, habe ich mir mein problem nochmal
angeschaut, und siehe da :
meine matrix ist schon in diagonalform

muss ich nun einfach aus allen diagonalelementen die wurzel ziehen,
und dann das inverse der matrix bilden?

Das Inverse wäre ja dann wieder einfach nur :
bilde das Inverse bezüglich der reellen multiplikation aller
diagonal-elemente ( 1/x )

oder habe ich einen denkfehler, und das problem ist doch nicht so
trivial?

.filmor

Die Quadratwurzel einer Matrix (A s.d. gilt A^2 = ist nicht im Geringsten eindeutig. Aber mit deinem Verfahren hast du zumindest /eine/ Quadratwurzel gefunden und die Bestimmung der (eindeutigen, falls sie existiert) Inversen (A s.d. gilt A*B = I) ist auch richtig.

Das ist natürlich wieder eine Definitionsfrage. Aber üblicherweise wird die Wurzel aus einer Diagonalmatrix genauso definiert wie oben.

.filmor

Mups schrieb:

Das ist natürlich wieder eine Definitionsfrage. Aber üblicherweise wird die Wurzel aus einer Diagonalmatrix genauso definiert wie oben.

Halt ich für ein Gerücht. Wieso sollte man das auch tun? Damit schmeißt man alleine für den Fall, dass die Wurzelmatrix eine reelle Diagonalmatrix ist (was das Ganze schon ganz schön krass einschränkt) 2^n - 1 Möglichkeiten weg.

Auch für reelle Zahlen ist eine Quadratwurzel von x definiert als y sd. y^2 = x.

XFame

.filmor schrieb:

Auch für reelle Zahlen ist eine Quadratwurzel von x definiert als y sd. y^2 = x.

In den reellen Zahlen ist die Quadratwurzel schon eindeutig.

.filmor

Nö.

Jover

Jede positiv semidefinite Matrix A \in IR^nxn besitzt genau eine positiv semidefinite Quadratwurzel.

Auf die Quadratwurzel kommst du, indem du einen Basiswechsel auf eine ONB aus Eigenvektoren durchführst. Die erhaltene Matrix ist in Diagonalgestalt.
Die (Diagonal)matrix die in der Diagonalen die Quadratwurzeln der obigen Matrix stehen hat ist die Quadratwurzel.

XFame schrieb:

.filmor schrieb:

Auch für reelle Zahlen ist eine Quadratwurzel von x definiert als y sd. y^2 = x.

In den reellen Zahlen ist die Quadratwurzel schon eindeutig.

Das ist zwar richtig, denn die quadratwurzel ist:
$\sqrt{y}:=|x|$ , wobei gilt $|x|^{2}=y$
Aber es sagt nichts über x aus nur über den Betrag und dieser enthält eine implizite Fallunterscheidung. D.h., wenn du aus einer Zahl die Wurzel ziehst kannst du nicht eindeutig auf das x schließen, nur dessen Betrag.

XFame

Nein, die Quadratwurzel aus einer reellen Zahl x ist die nichtnegative Loesung der Gleichung y^2 = x und somit eindeutig.

//Edit: Du ueber mir meinst aber wohl eher den Betrag von y ;).

Jover

Die Abbildung x\mapsto\sqrt{x} bildet [0,\infty)\rightarrow [0,\infty) ab. Definitionsgemäß ist es also immer die positive Lösung der Gleichung y^2=x.

PS. der latex interpreter geht nicht, also habe ich die tags entfernt

.filmor

Ja, das ist die Wurzelfunktion. Aber eine Quadratwurzel ist eine beliebige Lösung dieser Gleichung. Man betrachte nur die Definition der Einheitswurzeln.

Und @Jover, es war nie die Rede von positiv semidefinit (Matrix oder Wurzel) oder sonst irgendwelchen Einschränkungen. Und aus einer beliebigen Matrix gibt's eine ganze Menge Wurzeln.

Aber nun ist auch mal gut

Jover

Ich kenne nur die Quadratwurzeldefinition für positiv semidefinite Matrizen und die ist eindeutig.

XFame schrieb:

Nein, die Quadratwurzel aus einer reellen Zahl x ist die nichtnegative Loesung der Gleichung y^2 = x und somit eindeutig.

//Edit: Du ueber mir meinst aber wohl eher den Betrag von y ;).

Ich kann meine Latex-Einschübe leider nicht mehr rekonstruieren, aber ich denke schon, dass es mit diesen Sinn machen würde.