Integral
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Wenn f \in L^2(\Omega), ist dann \int\int f(x)f(y) dxdy größer oder kleiner gleich \int f(x)^2 dx? Und warum?
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ok, am Beispiel f=x sieht man, dass es
\int\int f(x)f(y) dxdy <= \int f(x)^2 dx
lauten müsste
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siehe auch die Jensen'sche Ungleichung:
f(E(X))<=E(f(X)) konvexe f
E ist der Erwartungswert bezüglich dem Maß µ, also E(X)=int(X,dµ)
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ok, da nehme ich f(x) = x^2, das ist konvex. Aber nicht unbedingt \Omega Maß 1.
Vermutlih ist die Ungleichung falsch für maß\omega > 1?
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Die Formulierung mit dem Erwartungswert impliziert, dass µ(Ω)=1 gilt.
Leider habe ich mein Maßtheorie Skript nicht zur Hand, aber ich kann mir durchaus vorstellen, dass die Ungleichung für beliebige Maße i.A. nicht gilt.
Eventuell kann man weitere Aussagen machen, wenn man das Maß geeignet transformiert.
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Jover schrieb:
Die Formulierung mit dem Erwartungswert impliziert, dass µ(Ω)=1 gilt.
ja, aber siehe die formulierung bei wikipedia, die geht für bleiibege intervalle [a,b]
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Nach kurzem Nachdenken, erscheint mir folgende Aussage plausibel (nicht bewiesen, nur eine von mir aufgestellte Hypothese):
Lässt sich die Funktion f \in L^2(\Omega) darstellen durch
f=\phi*dµ/d\lambda,
wobei \phi eine konvexe Funktion ist und dµ/d\lambda die Radon-Nikodyn Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ ist, so gilt die Jensen Ungleichung
T(int(f,d\lambda))<=int(T(f),d\lambda).Für die Richtigkeit dieser Aussage kann ich aber nicht garantieren.
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juhu schrieb:
Jover schrieb:
Die Formulierung mit dem Erwartungswert impliziert, dass µ(Ω)=1 gilt.
ja, aber siehe die formulierung bei wikipedia, die geht für bleiibege intervalle [a,b]
Die Maßtheoretische Version verlangt nach einem Wahrscheinlichkeitsmaß
Die Version für Intervalle [a,b] sieht sehr nach einer Anwendung von meinem "Korollar" aus
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Was ist bei dir T?
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Eine konvexe Transformation
In deinem Beispiel ist T(x):=x^2