harmonische Funktionen und holomorphe Funktionen ACHTUNG LANG!!!
-
Sei f: R^2 -> R eine harmonishce Funktion (d.h. Laplace f = 0). Gibt es dann eine holomorphe Funktion auf C, die f als Real-/Imaginärteil hat?
-
Nicht unbedingt.
-
Wovon hängt dies ab?
-
ich wäre sehr an einem gegenbeispiel interessiert.
-
ich verrat euch was: Es gibt keins.
-
Das war ach meine erste Meinung, da harmonisch ja 2mal differenzierbar impliziert.
-
eigentlich liegt es daran, dass C einfach zshg
-
Es steht auch in der fickipedia
-
Jover schrieb:
Das war ach meine erste Meinung, da harmonisch ja 2mal differenzierbar impliziert.
Tut es, aber das impliziert nicht, dass die Funktion komplex differenzierbar ist. Dafür muss sie die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. Das ist für eine harmonische Funktion meines Erachtens nicht zwingend gegeben. Ein triviales Beispiel wäre die Funktion, die eine komplexe Zahl auf ihren Realteil schickt. Diese erfüllt die Differentialgleichungen nicht, ist aber ziemlich harmonisch.
/edit: Oha, da hab ich mich wohl verlesen. Ich dachte es war die Folgerung harmonisch => holomorph gemeint. Verzeiht mir
