Funktionsgleichung ermitteln - gibt's noch andere Wege?
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Also, ich habe folgende Aufgabe:
Gegegeben sind:
f(x) = 1 + x²
h(x) = 1 + x³Nun ist gesucht eine Funktionsgleichung g, so dass gilt:
g((fx)) = h(x)Also im Grunde war es mir eigentlich klar, dass ich da irgendwie was mit Umkehrfunktion machen muss.
also, Umkehrfunktion von f bilden: y = 1 + x² -> x = sqrt(y - 1) -> F(x) = sqrt(x-1)
Diese bei h eigesetzt: h(F(x)) = 1 + (x-1)^(3/2)
also lautet g: y = 1 + x(-1)^(3/2)
Wenn man dort jetzt f(x) einsetzt, kommt man auch auf 1 + x³, das Ergebnis stimmt also.
Meine Frage wär jetzt, gibt es vielleicht noch eine "mathemtischere" Lösung? Die Lösung basiert ja jetzt hauptsächlich auf Überlegen, und ich weiß nicht ob man das anderen in dem Fall so gut vermitteln kann...
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Das ist mathematisch genug. Allerdings gibt es, da f nicht bijektiv ist mehrere Möglichkeiten für F und damit (glaube ich) zwei stetige für g (deine Lösung und die mit F = -sqrt). Das müsstest du auf jeden Fall dazuschreiben.
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Genau, ein solches g gibt es nur fuer x>=0 bzw. x<=0. Ist der Definitionsbereich |R gibt es solch ein g nicht.
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Stimmt, danke!